Acta Mathematica

Krümmungseigenschaften Konvexer Flächen

Herbert Busemann and Willy Feller

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Acta Math. Volume 66 (1936), 1-47.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02546515

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1936 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Busemann, Herbert; Feller, Willy. Krümmungseigenschaften Konvexer Flächen. Acta Math. 66 (1936), 1--47. doi:10.1007/BF02546515. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485888133


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References

  • Mém. Acad. Roy. Sc. Let. Danemark, Copenhague, (7) XII, (1914).
  • Der Krümmungsmittelpunkt ist hierbei nicht aufzufasen als Grenzlage des Schnittpunktes benachbarter Kurvennormalen, sondern als Grenzlage der Mittelpunkte der Kreise, die in P die Kurve berühren, und durch einen benachbarten Kurvenpunkt gehen.
  • a.a.O. Der Krümmungsmittelpunkt ist hierbei nicht aufzufassen als Grenzlage des Schnittpunktes benachbarter Kurvennormalen, sondern als Grenzlage der Mittelpunkte der Kreise, die in P die Kurve berühren, und durch einen benachbarten Kurvenpunkt gehen.—Neuerdings hat auch Bouligand den Meusnierschen Satz unter geringeren als den klassischen, aber weit schärferen als den Hjelmslevschen Voraussetzungen bewiesen. Vgl. im Folgenden S. 11.
  • Vgl. T. Bonnesen und W. Fenchel: Theorie der konvexen Körper; Ergebnisse der Math., III, I, Berlin 1934, S. 13.—Wir beziehen uns, soweit möglich, auf diesen Bericht, und zitieren ihn zur Abkürzung mit B. F.
  • B. F. S. 144.
  • Annali di Matematica (3), VII (1902). Vgl. auch O. Bolza: Variationsrechnung, Leipzig und Berlin 1909, S. 422.
  • Vgl. § 2, S. 8 f.
  • Nur wenn man den Krümmungsradius vermöge der Grenzlage des Schnittpunktes benachbarter Normalen definiert, ist die Existenz der Krümmung gleichbedeutend mit der Existenz der zweiten Ableitung.
  • vgl. B. Jessen: Om konvekse Kurvers Krumning. Matematisk Tidsskrift B, 1929, Kopenhagen.
  • d. h. genauer: Die Ableitungen der rechten und der linken Ableitung stimmen ausserhalb eine Menge vom Mass o überein.
  • vgl. Jessen, a. a. O. Om konvekse Kurvers Krumning. Matematisk Tidsskrift B, 1929, Kopenhagen.
  • vgl. B. F. S. 34.
  • vgl. etwa H. Lebesgue: Leçons sur l'Intégration, Paris 1928, S. 77 und 183.
  • Der folgende Satz ist im Wesentlichen mit dem von Hjemslev (a. a. O.) äquivalent, welcher eine stetige Tangentialebene in der Umgebung von P voraussetzt. Eine Bemerkung von Bouligand (Géométrie infinitésimale directe, Paris 1932, S. 173–174) über die Notwendigkeit von weiteren, wesentlich schärferen Voraussetzungen könnte insofern missverständlich sein, als in seinem Beispiel die partiellen Ableitungen unstetig sind.
  • Zusats bei der Korrektur. Dieses ist nicht der Fall. Es besteht nämlich, wie wir an einer anderen Stelle zeigen werden, der folgende Satz: Es sei γ eine den Punkt P im Inneren enthaltende konvexe Kurve, und T eine Kurve, die mit irgend einem Punkt Q′ zugleich die konvexe Hülle von Q′+γ umfasst; dann gibt es eine konvexe Fläche, für die im Punkte P die obere Indikatrix gerade T ist, währenddie untere mit γ zusammenfällt. Mit denselben Hilfsmitteln kann man auch die Unstetigkeitspunkte der Indikatrizen untersuchen, und es ergibt sich leicht, dass jede konvexe Kurve, die P im Inneren oder auf dem Rande enthält, als Indikatrix auftreten kann; wir haben daber den ursprünglich hier vorgesehenen Beweis dafür gestrichen (vgl. die Bemerkung auf S.18).
  • Wir haben vorausgesetzt, dass die Indikatrix in Q eine Tangente hat; da aber auch Ecken auftreten können, braucht nicht jede Richtung, in der die Normalkrümmung einen Extremwert annimmt, eine Hauptkrümmungsrichtung zu sein. Es gibt daher nicht in jedem Punkt mit Indikatrix eine Hauptkrümmungsrichtung, es kann deren aber beliebig viele geben.
  • Vgl. Radon. Über eine besondere Art ebener konvexer Kurven, Ber. Verh. Sächs. Akad. Wiss, Leipzig, 68, (1916), S. 123.
  • Vgl. B. F. S. 47.
  • vgl. W. Blaschke: Differentialgeometrie I, Berlin 1924, 2. Aufl, S. 85.
  • Es sei bemerkt, dass der folgende Beweis die Konvexität der Fläche nur schwach ausnutzt. Der Beweis gilt für jede Flächez=f(x,y), wenn nur (I)f von beschränkter Schwankung ist, und (2) in fast allen Punkten (x0, Y0) die Funktion f(x,y0+(xx0)tgα) für jedes α eine zweite Ableitung besitzt.
  • vgl. S. Saks, Théorie de L'Intégrale, Warszawa 1933, S. 121 (Satz von Tonelli).
  • Einen Beweis dieses bekannten Satzes der Lebesgueschen Theorie findet man z. B. bei S. Saks, a. a. O. S. 49. Dort wird allerdings hn=kn vorausgesetzt, d. h. es wird nur nach Quadraten differenziert. Indessen überträgt sich der Beweis wörtlich auf unsere Voraussetzungen, da es nur auf die Gültigkeit des Vitalischen Satzes ankommt.
  • Falls die beiden Ebenen parallel sind, ist die Behauptung trivial.
  • Unser Beweis zeigt nämlich, dass hierfür in einem festen Koordinatensystem die Beziehung (4) notwendig und hinreichend ist. Wenn aber (4) in zwei Koordinatensystemen erfüllt ist, so ist, wie wir sahen, fαα eine quadratische Form in cos α und sin α, so dass die Beziehung (4) dann in allen Koordinatensystemen gilt.
  • Unter einem Nabelpunkt verstehen wir einen Punkt, dessen Indikatrix ein konzentrischer Kreis ist, oder ganz im Unendlichen liegt.
  • Die Konvexität braucht nicht besonders vorausgesetzt zu werden, da die Tangentialebene in einem solchen Nabelpunkt zugleich Stützebene im Kleinen ist. Eine Fläche, die in jedem Punkt eine Stützebene im Kleinen besitzt, ist aber konvex. Einen auf E. Schmidt zurückgehenden Beweis des entsprechenden Satzes für ebene Kurven findet man bei L. Bieberbach: Differentialgeometrie, Berlin 1932, S. 20 f. Der Beweis überträgt sich unmittelbar auf n Dimensionen (vgl. B.-F.S. 6–7).
  • vgl. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, I. Aufl., Leipzig 1918, § 568.
  • T. Radó: Über das Flächenmass rektifizierbarer Flächen, Math. Ann. 100 (1928).
  • Wir bezeichnen mit Betragstrichen stets den Flächeninhalt bzw. das Mass der auf der Fläche gelegenen Mengen.
  • vgl. etwa Carathéodory, a.a.O. Vorlesungen über reelle Funktionen, I. Aufl., Leipzig 1918, §§336/7.
  • Den Beweis führt man ganz wie üblich, vgl. etwa Carathéodory, a.a.O. Vorlesungen über reelle Funktionen, I, Aufl., Leipzig 1918, §288
  • Vgl. etwa Carathéodory, a.a.O. Vorlesungen über reelle Funktionen, I. Aufl., Leipzig 1918 § 289.
  • Die folgenden Überlegungen setzen teilweise voraus, dass diese Tangentialgbene Π nur in O berührt; infolge mehrpunktiger Berührung evtl. nötig werdende Änderungen bestehen durchweg in Vereinfachungen.