Acta Mathematica

Zur Theorie der Elliptischen Functionen

H. Weber

Full-text: Open access

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Source
Acta Math., Volume 6 (1885), 329-416.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02400423

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1554671

Zentralblatt MATH identifier
17.0456.01

Rights
1885 © F. & G. Beijer

Citation

Weber, H. Zur Theorie der Elliptischen Functionen. Acta Math. 6 (1885), 329--416. doi:10.1007/BF02400423. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485888032


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Literatur

  • Am einfachsten leitet man zuerst mittelst (2), (3) die dritte und vierte der Formeln (1) her. Die beiden ersten folgen dann leicht aus (6) §2.
  • Hermite, Comptes rendus, tome LVII, 21 déc. 1863.
  • Vgl. Dedekind: Ueber die elliptischen Modulfunctionen, Journal f. Mathematik, Bd. 83.
  • Dass ein solches Zahlensystem x, y immer existirt, ist leicht einzusehen; deen ist p irgend eine in n aufgehende Primzahl, so kann man zunächst die beiden Zahlen xp, yp so wählen, dass axp+cypbxp+dyp nicht beide durch p teilbar sind, und wenn man dann xxp, yyp, (modp); xxp′, yyp′, (modp′), ... setzt für alle in n aufgehenden Primzahlen p, p′, ... so genügen diese Werte der gestellten Forderung (Vgl. Königsberger, Ellipt. Functionen, II, S. 93).
  • Vgl. Dedekind, Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 266.
  • Die von Dedekind l. c. Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 266 eingeführte Valenz, val (w) ist nach dieser Bezeichnung $\frac{I}{{27.64}}j$ ; dieselbe Bedeutung hat das von Klein in seines Untersuchungen benutzte Zeichen J (Mathematische Annalen, Bd. XIV, S. 112).
  • Abel, Oeuvres éd. Sylow I, S. 292.
  • Auf der Benutzung dieses Umstandes beruht der Fortschritt, den Jacobi gege über der ersten Abel'schen Lösung des Teilungsproblems gemacht hat. Abel, Oeuvres éd. Sylow I, S. 294. Jacobi, gesammelte Werke, S. 243, 403.
  • Die Monodromiegruppe der Teilungsgleichung ist von C. Jordan untersucht, welcher auch den in No. 5 behandelten Teil der Frage, nach der algebraischen Gruppe zuerst erledigt hat. (Traité des substitutions, S. 342.) Die vollständige Galois'sche Gruppe der teilungsleichung ist zuerst von Sylow auf einem von dem unsrigen verschiedenen Weg bestimmt worden. (Forhandlinger i Videnskabs-Selskabet i Christiania, 1871.) Derselben Frage ist endlich eine Arbeit von Kronecker in den Monatsberichten der Berliner Akademie vom 19 Juni 1875 gewidmet.
  • Functionen dieser Art sind auch dann Wurzeln von Transformationsgleichungen, wenn s nur die zu n teilerfremden Zahlen der Reihe I bis n-1 durchläuft. Solche Transformationsgleichungen sind bis jetzt noch wenig oder nicht untersucht.
  • Vgl. über diesen Satz: Schering und Kronecker Monatsberichte der Berliner Akademie v. 22tem Juni 1876, ferner den ganz elementaren Beweis von Schering in den Acta mathematica I. Der Satz selbst lautet: Sind h, n relative Primzahlen, die letztere ungerade, und ist μ die Anzahl derjenigen unter den Zahlen $h, 2h, 3h,...,\frac{{n - I}}{2}h$ deren absolut kleinster Rest (modn) negativ ist, so ist $\left( { - I} \right)^\mu = \left( {\frac{h}{n}} \right)$ .
  • Diese Gleichung lässt sich leicht auch direct beweisen. (Vgl. Dedekind, Modulfunctionen, l. c. Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 288.)
  • Die Transformationsgleichung für P00 ist zuerst von Schläfli untersucht (Journal für Mathematik, Bd. 72, S. 368). Die Function P10:P00 führt auf die Jacobi'sche Modulargleichung. Die Bestimmung der Vorzeichen in diesen Formeln führen wir hier nicht weiter aus, da wir keinen Gebrauch von denselben machen werden.
  • Gleichungen dieser Art sind von F. Klein (l. c.) und Kiepert (Journal für Mathematik, Bd. 87, 88, 95) untersucht.
  • Nach Analogie der Zahlentheorie würde eine solche algebraische Function als eine Einheit zu bezeichnen sein.
  • Vgl. Dedekind, Modulfunctionen, § 7, l. c. Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 266.
  • 29 Oct. 1857, 26 Juni 1862, 22 Januar 1863, 1 Dec. 1870, 19 Juli 1875. 16 Apr. 1877, 2 Febr. 1880, 7 Dec. 1882.
  • Ist z. B. x2y2=u2 ein Quadrat und P eine in n aber nicht in x und folglich auch nicht in y aufgehende Primzahl und ξ relativ prim zu p, so ist (xp)2y2 durch p, aber nicht durch p2 teilbar und also gewiss kein Quadrat, und man kann über ζ noch so verfügen, dass xp und y relativ prim sind.