Acta Mathematica

Zur theorie der fast periodischen funktionen: I. Eine verallgemeinerung der theorie der fourierreihen

Harald Bohr

Full-text: Open access

Dedication

Meinem Lehrer und Freund Professor Edmund Landau zu seinem 25-jährigen Doktorjubiläum gewidmet.

Article information

Source
Acta Math. Volume 45 (1925), 29-127.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

Permanent link to this document
https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887577

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02395468

Rights
1925 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B.

Citation

Bohr, Harald. Zur theorie der fast periodischen funktionen: I. Eine verallgemeinerung der theorie der fourierreihen. Acta Math. 45 (1925), 29--127. doi:10.1007/BF02395468. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887577


Export citation

Bibliographie

  • P. Bohl, Über die Darstellung von Funktionen einer Variabeln durch trigonometrische Reihen mit mehreren einer Variabeln proportionalen Argumenten (Dorpat, 1893). Ich verdanke es einer freundlichen Mitteilung von Herrn Hadamard, auf die schönen Untersuchungen von Bohl (und die später zu erwähnenden von Esclangon) aufmerksam geworden zu sein, welche mir bei der Einsendung meiner ersten Comptes rendus Note unbekannt geblieben waren.
  • Es sei ausdrücklich bemerkt, dass die Richtigkeit dieses Satzes wesentlich durch die, in der Definition geforderte, Existenz einer Längel=l(ε) bedingt ist (vgl. Zusatz 1).
  • Der Grund, weshalb wir in unseren ‘allgemeinen’ Fourierreihen, im Gegensatz zu den “gewöhnlichen” Fourierreihen, Glieder mit Nullkoeffizienten nicht zulassen, ist ein prinzipieller. Weil nämlich hier die Menge der grundsätzlich möglichen Exponenten aus dem Kontinuum säm tlicher reellen Zahlen besteht und somit nicht abzählbar ist, können sie nicht alle als “Fourierexponenten” herangezogen werden, während zu einer bestimmten Auswahl natürlich kein Grund vorliegt.
  • Hierin ist speziell enthalten, dass An→0 für n→∞.
  • Wie in der Einleitung erwähnt, werden wir uns in der Abhandlung II mit der Aufgabe Beschäftigen, eine beliebige fast periodische Funktion f(x) mit vorgegebener Genauigkeit (und zwar nicht nur im Mittel, sondern sogar gleichmässig für alle x) durch eine endliche trigonometrische Summe zu approximieren. Wir bemerken aber sogleich, dass uns die Lösung dieser Aufgabe nur dadurch gelingt, dass wir den Fundamentalsatz benutzen, und es somit unerlaubt wäre die Resultate der Abhandlung II zum Beweise des Fundamentalsatzes heranzuziehen.
  • Man könnte übrigens die Benutzung von unstetigen rein periodischen Funktionen fT(x) leicht umgehen, was aber kein weiteres Interesse darbietet.
  • Vergl. A. Hurwitz, Über die Fourierschen Konstanten integrierbarer Funktionen, Math. Ann. Bd. 57, (1903), S. 425–446. (Siehe insbesondere S. 440.)
  • Vergl. A. Hurwitz,a. a. O, S. 438. WärefT(x) eine überall stetige—und nicht nur streckenweise stetige—Funktion, so könnten wir übrigens die Entwicklung von Φ(x) auch direkt aus dem Satze XXIV über die Integration von fast periodischen Funktionen entnehmen, weil ja dann fT(x) ein Spezialfall einer fast periodischen Funktion wäre.
  • Obwohl dadurch ein System von discreten Punkten $\frac{{2\pi m}}{\tau }$ herausgehoben wird, so dass die μn ausserhalb kleiner Umgebungen dieser Punkte belanglos sind, ist dies noch keineswegs die Behauptung von Lemma I. Die Lage jener Punkte ist nämlich von der gewünschten Feinheit der zugehörigen Umgebungen abhängig (weil ja das ε in Hilfssatz 4, und damit auch das τ, von δ sbhängt), weshalb diese Punkte nicht als feste Punkte Pm im Sinne von Lemma I verwendet werden können. Dies ist der Grund, der uns im Folgenden nötigt, nicht nur mit einem τ sondern gleichzeitig mit vielen τ zu sieben.
  • Diese Eigenschaft der Verschiebungsmenge hätte uns für den Übergang von Hilfssatz 4 zu Lemma I genügt, wenn es dafür ausreichend gewesen wäre (vgl. die Bemerkung von S. 83) statt unseres Lemma H einen etwas weniger aussagenden Satz zu besitzen, in welchem ein μ schon dann als «unschädlich» angesehen wird, wenn nur eines der N Produkte μτ1,μτ2,...μτN statt eines festen Prozentsatzes, mod. 2 π nicht zu nahe an 0 kommt. Der Beweis eines solchen «vereinfachten» Lemma II wäre nämlich so zu führen: Zunächst wäre aus Stetigkeitsgründen sofort ersichtlich, dass, falls für ein bestimmtes μ das Produkt mit einem der τ, etwa τm, numerisch grösser als π/6 (mod. 2 π) ist, dasselbe, und zwar mit demselben τm, für eine gewisse Umgebung dieser Zahl μ gelten muss. Ferner ist auch klar, dass die Menge derjenigen μ, welche die Eigenschaft haben, dass die sämtlichen Produkte μ τm numerisch ≦π/6 (mod. 2 π) sind, keine Häufungspunkte haben kann—und dass somit im Intervalle (−Ω, Ω) nur endlich viele solche μ, etwa μ=P1, P2,..., PM, liegen können — denn, falls die unendlich vielen Zahlen μτ1,μτ2,... alle in das Intervall (−π/6, π/6) fallen und h eine Grösse von hinreichend kleinem Betrage ist, müssen notwendig, wegen τn1−τn< c gewisse Zhahlen der neuen Folge (μ+h1, (μ+h2,... aus diesem Intervall herauswandern. Aus diesen beiden Tatsachen erschliesst man nun leicht, dass sich, bei hinreichend grossem N, die “unangenehmen” μ nur in beliebig vorgeschriebenen Umgebungen der obigen Punkte P1, P2,..., PM befinden können. Der Leser wird sehen, dass der Beweis des “wirklichen” Lemma II, nach Gewinnung von Hilfssatz 9, welcher auch eine Art von “Aequidistanz” der Verschiebungszahlen nachweist, wesentlich nach diesem Schema verläuft.
  • Es sei bemerkt, dass diese Menge gewiss alle Multipla von 2 π enthält und also nicht leer ist; in der Tat wird, falls μ=2 πn ist, für jede Zahl t der Menge Eϱ gelten—dat ja ganzzahlig ist—dass das Produkt μt kongruent 0 mod. 2 π ist, so dass also keine Zahl t in Eϱ existiert, für welche μt in die kleine π-Schublade fällt. Dass die Multipla von 2 π diese besondere Rolle spielen, liegt übrigens nur daran, dass wir, aus Bequemlichkeitsgründen, eben mit den ganzzahligen Verschiebungszahlen operiert haben.
  • Dieses Benehmen im Spezialfalle der linearen Unabhängigkeit der Exponenten steht in interessantem Gegensatz zu dem Verhalten in dem entgegengesetzten Sonderfalle, wo die Exponenten eine einfache arithmetische Progression bilden und also besonders stark linear verknüpft sind. In der Tat kann man hier nicht, wie ans der Theorie der gewöhnlichen Fourierreihen bekannt ist, aus der Divergenz der Reihe Σ|an| schliessen, dass die Abschnitte $\sum\limits_{ - N}^N {a_n e^{inkx} } $ beliebig grosse Werte annehmen; und selbst wenn dies eintritt, lässt sich daraus nicht folgern, dass die relative Länge der entsprechenden Intervalle der x-Achse für N→∞ ober einer festen positiven Schranke bleibt.
  • H. Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann. Bd. 77, (1916), S. 313–352.
  • Vergl. H. Bohr und R. Coubant, Neue Anwendungen der Theorie der diophantischen Approximationen auf die Riemannsche Zetafunktion, Crelles Journal, Bd. 144, (1914), S. 249–274.
  • Es mag zur Erläuterung bemerkt sein, dass es bei der folgenden Abschätzung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Rest $\mathop \sum \limits_{N_0 + 1}^N $ den Anfang $\mathop \sum \limits_l^{N_0 } $ nicht herunterdrückt, also dass etwa $\Re \left( {\sum\limits_{N_0 + 1}^N {r_n e^{2\pi i\eta _n } } } \right) > 0$ ist, durchaus wesentlich ist, dass man die ganze Vektorsumme $\sum\limits_{N_0 + 1}^N {r_n e^{2\pi i\eta _n } } $ zusammenhält und nicht etwa so grob verfährt sie in ihre einzelnen Glieder aufzulösen und zu verlangen, dass jedes Glied für sich einen positiven Realteil haben solle. Denn hierbei würde bei Vergrösserung von N um eine Einheit offenbar jedesmal ein neuer Faktor 1/2 hinzukommen — entsprechend der Wahrscheinlichkeit, dass der neue Vektor gerade in die positive Halbebene zeigt —und man bekäme also nicht für N→∞ eine feste positive untere Schranke für die gesuchte Gesamtwahrscheinlichkeit.
  • Nur aus Bequemlichkeitsgründen werden wir sie aus geradlinigen Stücken aufbauen; dass hierdurch ihre Ableitung unstetig wird, ist völlig belanglos.
  • P. Bohl, Über eine Differentialgleichung der Störungstheorie, Crelles Journal, Bd. 131 (1906), S. 268–321. (Vergl. insb. S. 279) Hier ist der Satz zwar nur für den Fall ausgesprochen, wo die reziproken Werte der Zahlen p linear unabhängig sind, aber daraus folgt sofort seine Gültigkeit für beliebige p.
  • S. Wennberg, Zur Theorie der Dirichlet'schen Reihen, Dissertation (Upsala 1920), S. 19. Es bedeutet nur eine andere Formulierung des Satzes, wenn er hier für stetige statt für ganzzahlige Parameter ausgesprochen wird.
  • Vgl. P. Bohl, Über eine Differentialgleichung der Störungstheorie, |l. c., S. 283.
  • Gerade dieses Integrationsproblem ist es gewesen, das Bohl zur Aufstellung seines im Zusatze 2 besprochenen Satzes über diophantische Approximationen geführt hat, aus welchem er schliessen konnte, dass seine Funktionen «fast periodischen» Charakter tragen, d. h. dass eine «Längel(ε)» existiert.