Acta Mathematica

Sur une genéralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire: Ier Mémoire

Vito Volterra

Full-text: Open access

Article information

Source
Acta Math., Volume 12 (1889), 233-286.

Dates
First available in Project Euclid: 31 January 2017

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https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485881704

Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02592183

Rights
1988 © F. & G. Beijers

Citation

Volterra, Vito. Sur une genéralisation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire: I er Mémoire. Acta Math. 12 (1889), 233--286. doi:10.1007/BF02592183. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485881704


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Literatur

  • Voir une Note que j'ai publiée: Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Vol. 3. C'est en poursuivant ce but que j'ai été amené aux idées qui forment la base de ce mémoire. Je me permets done d'exposer en peu de mots le point de départ de mes recherches sur la généralisation de la théorie des fonctions. D'après la définition de Dirichlet, on dit qu'une variable est fonction d'une autre variable, si à chaque valeur de cette quantité, entre des limites données, correspond une valeur de la première quantité. On est amené bien naturellement à cette définition, qui est indépendante de tout rapport analytique entre les variables, en considérant des phénomènes où il y a deux quantités qui changent simultanément de telle façon que les valeurs de l'une dépendent de celles de l'autre. En se plaçant à un tel point de vue on est conduit aisément à généraliser l'idée de fonction parce que dans plusieurs questions de physique et d'analyse ou trouve des quantités qui dépendent de toutes les valeurs d'une fonction ordinaire ou de plusieurs fonctions ordinaires tout à fait arbitraires. Par exemple la température dans un point d'une lame, qui est chauffée au bord, dépend de toutes les valeurs de la température au bord de la lame. Les fonctions des lignes offrent un autre exemple d'une telle dépendance. II est bien clair que, lorsque on parle d'une quantité qui dépend de toutes les valeurs d'une ou de plusieurs variables, on entend quelque chose de bien différent d'une fonction de fonction. J'ai tâché d'étudier la dépendance dont je viens de parler. En général on ne sait pas si, en partant de la fonction, on peut parvenir, par des procédés analytiques, à la quantité qui en dépend. Pourtant, sous certaines conditions, qui sont tout à fait semblables aux conditions nécessaires pour le développement en série de Taylor, on peut parvenir à généraliser cette série au cas que nous considérons. Par exemple, bornons-nous au cas le plus simple, c'est à dire d'une quantité y qui dépend de toutes les valeurs d'une fonction f(x), définie pour les valeurs de x comprises entre les limites a, b. Sous certaines conditions on peut donner pour y l'expression analytique $\begin{gathered} y = y_0 + \int\limits_a {f(t_1 )\theta _1 (t_1 )dt_1 } + \frac{1}{2}\int\limits_a {\int\limits_a {f(t_1 )f(t_2 )\theta _2 (t_1 ,t_2 )dt_1 dt_2 } } \hfill \\ + \frac{1}{{2.3}}\int\limits_a^b {\int\limits_a^b {\int\limits_a^b {f(t_1 )f(t_2 )f(t_3 )\theta _3 (t_1 ,t_2 ,t_3 )dt_1 dt_2 dt_3 + ...} } } \hfill \\ \end{gathered} $ où y0 est une constante et les fonctions θn(t1t2,,.., tn), sont des fonctions symétriques des variables t1, t2, …, tn. La série qu'on vient d'écrire u'est autre chose que la généralisation de la série de Taylor.