Acta Mathematica

Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven

Ludwig Scheeffer

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Source
Acta Math., Volume 5 (1884), 49-82.

Dates
First available in Project Euclid: 30 January 2017

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Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02421552

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1554648

Zentralblatt MATH identifier
16.0338.01

Rights
1884 © F. & G. Beijer

Citation

Scheeffer, Ludwig. Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven. Acta Math. 5 (1884), 49--82. doi:10.1007/BF02421552. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485803350


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Literatur

  • Mathematische Annalen, B. 15, pag. 287.
  • Diese Definition der Länge ist im Wesentlichen gleichbedeutend mit der von Duhamel angegebenen. (Vergl. Stolz: Über die Bedeutung Bolzano'sin der Geschichte der Infinitesimalrechnung. Mathematische Annalen B. 18 pag. 270). Sie lässt sich vollständig auf dieselbe reduciren, wenn man der Auffassung der Curve als eines Continuums dadurch Ausdruck giebt, dass man die Funktion f(x) an den Sprungstellen alle zwischen f(x-o) und f(x+o) gelegenen Werthe annehmen lässt. Wir haben es vorgezogen, die Funktion f(x) überall eindeutig bestimmt vorauszusetzen und erst vermittelst unserer eigenthümlichen Definition der «Länge» die Anschauung von der Continuität der Curve an den Sprungstellen der Funktion f(x) zum Ausdruck zu bringen.
  • Herr Du Bois-Reymond nennt die GrössenD+, D+, D, D passend «Unbestimmtheitsgrenzen» des vorwärts und rückwärts genommenen Differentialquotienten. Wir haben die neue Bezeichnung «derivirte Funktionen» der grösseren Kürze wegen eingeführt. Die Symbole D+, D+, D, D schliessen sich unmittelbar an diese Bezeichnung an und sind daher von uns den Symbolen des Herrn Dini Λ, λ, Λ′, λ′ (Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali pag. 190) vorgezogen.
  • Die Richtungsschwankung an der Stelle x, y ist keineswegs immer gleich der Richtungsschwankung in der Umgebung dieser Stelle. Es lassen sich leicht Beispiele angeben, wo die erste gleich o, die zweite gleich π ist (z. B. $y = x^{\tfrac{4}{2}} \sin \frac{I}{x}$ für x=0).
  • Der von Duhamel gegebene Beweis dieses Theorems umfasst nur diejenigen Curven, welche an jeder Stelle sowohl nach vorwärts. als nach rückwärts eine bestimmte Richtung haben. Desgl. der Beweis von Herrn Stolz (l. c. Über die Bedeutung Bolzano'sin der Geschichte der Infinitesimalrechnung. Mathematische Annalen B. 18 pag. 271).
  • Unter einer «abzählbar unendlichen» Menge verstehn wir eine solche, deren Elemente sich den Elementen der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3,… eindeutig zuordnen lassen. Wir bemerken dies ausdrücklich, weil Herr G. Cantor jenem Begriffe, den er ursprünglich in der angegebenen Weise definirte, später eine erweiterte Bedeutung gegeben hat (Mathematische Annalen, B. 21, pag. 550, Note). Es sei noch erwähnt, dass die im Theorem II enthaltene Bedingung 3), genau genommen, überflüssig ist, da sie- was wir erst während des Druckes erkannt haben—durch die Bedingung 1) bereits mitgegeben ist. Die von Herrn du Bois-Reymond (l. c. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali pag. 190). aufgestellte Forderung, dass die Unstetigkeiten nicht «pantachisch» sein sollen, erweist sich bei unserer Definition der Länge als unwesentlich (Vergl. das Beispiel auf S. 61 dieser Abhandlung).
  • Herr G. Cantor hat z. B. gezeigt (Borchardts Journal, B. 77 p. 258), dass die Menge aller rationalen Zahlen und sogar aller algebraischen Zahlen, welche offenbar überall dicht ist, in eine einfache Reihe w1, w2,… gebracht werden kann.
  • Cf. die Note auf Seite 62.
  • Diese Summe ist von Herrn Weierstrass angegeben worden. Cf. Cantor. Condensation der Singularitäten, Mathematische Annalen B. 19, pag. 591.
  • Diese Funktion zeigt, dass ein Lehrsatz des Herrn Harnack (Mathematische Annalen B. 19, pag. 235–279, Lehrsatz 3) nicht unbedingt richtig ist.
  • Vergl. Riemann: Über die Darstellbarkeit einer F. d. e. trigon. Reihe. Ges. Werke, pag. 228.
  • Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten (Mathematische Annalen B. 21, pag. 57).
  • Mathematische Annalen B. 21, pag. 54.
  • z. B. es bestehe die Reihe ξr, ξ′r, aus allen rationalen Zahlen von der Form {fx74-1} wo die Grössenc1, c2,…, cp−1 jeden der beiden Werthe O und 2 annehmen und p alle ganzzahligen Werthe von I bis ∞ erhält. (Cf. Cantor, Mathematische Annalen B. 22, pag. 590).
  • Nach der Definition von Herrn Cantor.
  • Mathematische Annalen B. 21, pag. 56.
  • Vergl. das Beispiel 1 zu Theorem IV.