Acta Mathematica

Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes: D’une variable indépendante

G. Mittag-Leffler

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Source
Acta Math., Volume 4 (1884), 1-79.

Dates
First available in Project Euclid: 30 January 2017

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Digital Object Identifier
doi:10.1007/BF02418410

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR1554629

Zentralblatt MATH identifier
16.0351.01

Rights
1966 © Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB

Citation

Mittag-Leffler, G. Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes: D’une variable indépendante. Acta Math. 4 (1884), 1--79. doi:10.1007/BF02418410. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485803325


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Literatur

  • C’est-à-dire représentant une valeur donnée finie.
  • Cf.: Zur Functionenlehre, von K. Weierstrass. Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, August 1880, pag. 4.
  • Weierstrass: Zur Functionenlehre, p. 5.
  • Suivant la terminologie de Cantor (voir ce journal, T. 2, p. 407–408), l’ensemble[math not provided], tant que cet ensemble ne ferme qu’une partie du champ total de la variable x, est un ensemble imparfait continu; il constitue, par suite, une espèce distincte de semicontinuum, mais n’est pas un continuum parfait.
  • J’entends alors par fonction monogène une fonction telle qu’elle a été définic par Weierstrass: Zur Functionenlehre. Monatsbericht d. Königl. Akad. d. Wissenschaften zu Berlin, August 1880, p. 12.
  • Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen, von K. Weierstrass. Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1876, p. 11.
  • K. Weierstrass: Zur Theorie etc., p. 11. La définition qui vient d’être donnée ici, diverge de celle de Weierstrass en ceci que Weierstrass n’ajoute pas la condition que F(x) doive posséder des points réguliers dans chaque voisinage de x=x’. En lisant la suite de mon mémoire on reconnaîtra sans peine pourquoi j’ai été amené à faire ce changement dans la définition de Weierstrass.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 343.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 373.
  • Un ensemble constituant la réunion de plusieurs autres qui ne possèdent aucun point commun, est désigné comme la somme de ceuxci. (Voir ce journal, T. 2, p. 372.)
  • J’ai montré dans les Mémoires de la société des sciences de Liège, 2e série, t. XII comment il est possible de prouver ce théorème sans avoir recours à la théorie des intégrales définies et sans sortir des principes élémentaires employés dans ce travail. Cette démonstration sera reproduite à la suite de ce mémoire.
  • A l’instar de Weierstrass: Zur Theorie etc. p. 26, je comprends toujours par[math not provided] “une série procédant suivant les puissances entières et positives de (x−a), et convergente dans un certain voisinage de (x=a)”.
  • Pour éviter la confusion qu’on trouve chez beaucoup d’auteurs sur la différence entre une expression analytique et une fonction monogène j’introduis dans la suite le signe Fx pour exprimer la première de ces notions.
  • Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, August 1880 et Februar 1881.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 373.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 311.
  • Je citerai comme exemple l’ensemble de tous les nombres rationnels.
  • Comme exemple d’un ensemble Q pour lequel l’égalité Q’=0 ne se présente pas, je citerai l’ensemble qui constitue la réunion de tous les points $\alpha _{nk} = \left( {I + \frac{{( - I)^{n + 1} }}{{n + I}}} \right) \cdot e^{\frac{{2k\pi i}}{{n + 1}}} ; n = 0,1,2,...; k = 0,1,2,...,n$ . Ici Q’ se compose évidemment de la réunion de tous les points remplissant la condition |x|=1. Les quantités bnk peuvent être fixées de telle sorte, que $b_{nk} = e^{\frac{{2k\pi i}}{{n + 1}}}$ On voit immédiatement la signification géométrique de ank, bnk et Q’.
  • K. Weierstrass: Zur Functionenlehre. Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, August 1880, p. 7.
  • K. Weierstrass: Zur Functionenlehre, p. 7.
  • Voir outre le mémoire de Weierstrass déjà cité, les mémoires suivants: “ Ulisse Dini. Alcuni teoremi sulle funzioni di una variabile complessa. In memoriam Dominici Chelini Collectanea Mathematica nunc primum edita cura et studio L. Cremona et E. Beltrami.” “ Ch. Hermite. Sur quelques points de la théorie des fonctions. Extrait d’une lettre de M. Hermite à M. Mittag-Leffler. Acta Societatis Scientiarum Fennicæ, T. XII”, ainsi que “Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 91”. “ E. Schering. Das Anschliessen einer Function an algebraische Functionen in unendlich vielen Stellen. Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Göttingen. Bd. XXVII.”
  • Voir aussi: F. Casorati. Aggiunte a recenti lavori dei Sig Weierstrasse Mittag-Lefflersulle funzioni di una variabile complessa. Annali di Matematica pura ed applicata. Serie IIa. Tomo Xo.”
  • Voir ce journal, T. 2, p. 366.
  • Si l’on part de l’ensemble Q donné dans l’exemple de la note page II, et que l’on suppose qu’aucune des fonctions $G_{nk} \left( {\frac{I}{{x - a_{nk} }}} \right)$ n’est identiquement zéro, l’expression analytique $\bar F_x$ correspondant à l’ensemble Q et aux fonctions $G_{nk} \left( {\frac{I}{{x - a_{nk} }}} \right)$ , représente, dans un cercle ayant l’origine pour centre et l’unité pour rayon, une certaine fonction monogène et uniforme qui se comporte d’une manière singulière dans l’entourage de chacun des points $a_{2pk} = \left( {I - \frac{I}{{2p + I}}} \right)e^{\frac{{2k\pi i}}{{2p + 1}}} p = 0,1,2,...; k = 0,1,2,...,2p$ ainsi qu’aux environs des points situés sur la périphérie du cercle. Cette fonction est régulière au voisinage de chaque autre point appartenant au cercle. Elle ne peut pas être continuée au delà du cercle. L’expression analytique $\bar F_x$ représente aussi une autre fonction monogène uniforme n’existant qu’en dehors du cercle mentionné, et qui ne peut par conséquent se continuer dans l’intérieur de ce eercle. Cette fonction se comporte d’une façon singulière au voisinage de chacun des points $a_{2p - 1k} = \left( {I + \frac{I}{{2p}}} \right)e^{\frac{{2k\pi i}}{{2p}}} p = 1,2,...; k = 0,1,2,...,2p - 1$ comme aussi dans l’entourage de chacun des points situés sur la périphérie du cercle. Pour la première fonction,[math not provided] +Q est égal à l’intérieur d’une surface circulaire ayant l’origine pour centre et l’unité pour rayon. Pour la fonction mentionnée en dernier lieu,[math not provided] +Q est égal à la partie du plan tombant en dehors de la surface précitée. Pour les deux fonctions, la périphérie du cercle est égale à Q′.
  • K. Weierstrass: Zur Functionenlehre, p. 3 et 4.
  • Voir Weierstrass: Zur Functionenlehre, p. 7.
  • Voir p. 26 et 27.
  • Voir Weierstrass: Zur Theorie etc., p. 31.
  • Voir page 21.
  • Un point x=a est un pôle ou un point-zéro d’une fonction monogène uniforme, si cette fonction peut être mise dans l’entourage du point x=a sous la forme[math not provided], où n désigne un nombre entier positif ou négatif. Si n est positif x=a est un point zéro, si n est négatif x=a est un pôle ou autrement dit un point singulier non essentiel.
  • Cf. Weierstrass: Zur Theorie etc., p. 31.
  • Weierstrass: Zur Theorie etc., pag. 17, A.
  • Si P est un ensemble de points quelconque, dans lequel chaque point particulier ne figure qu’une seule fois, on désigne par P″, d’après la notation de Cantor, un ensemble de points déduit de P′ de la même manière que P′ a été déduit de P. Il faut remarquer toutefois que, tandis qu’il n’est pas nécessaire que P contienne aucun point de P′, P′ au contraire contient nécessairement tous les points de P′. (Acta Mathematica, T. 2, p. 350.)
  • Page 18, formule 2.
  • Weierstrass: Zur Theorie etc., p. 12 et 13.
  • Un théorème auxiliaire de la théorie des ensembles. (Bihang till Kongl. Svenska Vet. Ak. Handlingar, Tome 9 N0 7.)
  • Voir page 41.
  • Cf. Weierstrass: Zur Theorie etc., pag. 48, 49.
  • Cf. G. Mittag-Leffler: Om skiljandet af rötterna till en synektisk funktion af en variabel. Upsala Universitets Årsskrift, 1872.
  • Voir de plus E. Schering: Das Anschliessen etc., p. 4.
  • Voir page 41.
  • Cf. page 40.
  • Comme exemple, on peut citer l’ensemble des nombres, qu’on obtient de l’expression $\frac{I}{{2^{m_1 } }} + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 } }} + \cdots + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 + ... + m_n } }}$ en faisant parcourir à chacune des quantités m1, m2,..., mn toute la série des nombres entiers positifs. L’ensemble considéré est un ensemble isolé et, si on le désigne par P, P(n) ne contiendra que le seul point zéro.
  • Comme exemple d’un ensemble de points P, pour lequel il n’existe pas de nombre entier positif n, tel que P(n+1)=0, on peut citer l’ensemble de tous les nombres, que l’on obtient de l’expression $\frac{I}{{2^n }} + \frac{I}{{2^{n + m_1 } }} + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 } }} + \cdots + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 + ... + m_n } }}$ en faisant parcourir à chacune des quantités n, m1, m2,..., mn toute la série des nombres entiers positifs. Dans ce cas P(w) ne contient que le seul point zéro. L’ensemble considéré P est un ensemble de points isolés.
  • Comme exemplo d’un ensemble de points P, pour lequel P(w+n) contient un nombre fini de points, on peut citer celui qu’on obtient de l’expression $\begin{array}{*{20}c} {\frac{I}{{2^{m_1 } }} + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 } }} + \cdots + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 + ... + m_n } }} + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 + ... + m_n + p} }} + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 + ... + m_n + p + q_1 } }}} \\ { + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 + ... + m_n + p + q_1 + q_2 } }} + \cdots + \frac{I}{{2^{m_1 + m_2 + ... + m_n + p + q_1 + q_2 + ... + q_p } }}} \\ \end{array}$ en y faisant parcourir à chacune des quantités m1, m2,..., mn, p, q1, q2,..., qp toute la série des nombres entiers positifs. L’ensemble considéré est un ensemble isolé et P(ω+m) ne contient que le seul point zéro.
  • Soit P l’ensemble de tous les nombres, que l’on obtient de l’expression $\begin{array}{*{20}c} {\frac{I}{{2^n }} + \frac{I}{{2^{n + m_1 } }} + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 } }} + \cdots + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 + ... + m_n } }} + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 + ... + m_n + p} }}} \\ { + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 + ... + m_n + p + q_1 } }} + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 + ... + m_n + p + q_1 + q_2 } }} + \cdots + \frac{I}{{2^{n + m_1 + m_2 + ... + m_n + p + q_1 + q_2 + ... + q_p } }}} \\ \end{array}$ en faisant parcourir à toutes les quantités, n, m1, m2, ..., mn, p, q1, q2, ..., qp toute la série des nombres entiers positifs. Il n’existe pas dans ce cas de nombre entier v tel, que P(w+v)=0. L’ensemble considéré est un ensemble de points isolé et P(2w) ne contient que le seul point zéro.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 359–60.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 385.
  • Pour les nombres 2w, ww, etc., par exemple, il n’existe pas de nombre qui les précède immédiatement.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 409, Théorème B.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 409, Théorème C. A proprement parler, le théorème C de Cantor énonce seulement qu’il existe toujours un premier nombre γ, qui appartient à la première ou à la seconde classe et pour lequel P(γ)=0. Mais en se servant des mêmes raisonnements que Bendixson (voir ce journal, T. 2, p. 419–421), on montre facilement que γ doit toujours avoir la forme $\bar \alpha + I$ et que par conséquent $P^{(\bar \alpha )}$ ne contient qu’un nombre fini de points.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 426. Voir aussi à ce sujet Cantor, Ueber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. No 6. Mathematische Annalen, Bd. 23, p. 467–469.
  • Voir ce journal, T. 2, p. 369.
  • Cf. page 25.
  • Pag. 14 et 27.
  • Ce que je veux dire par là est suffisamment éclairei par l’exposition qui précède.
  • Il faut observer que l’ordre de ces articles dans les Comptes rendus etc. a été interverti.
  • Voir p. 49 et 50.