Brownian motion correlation in the peanosphere for $\kappa>8$

Abstract

The peanosphere (or “mating of trees”) construction of Duplantier, Miller, and Sheffield encodes certain types of $\gamma$-Liouville quantum gravity (LQG) surfaces ($\gamma\in(0,2)$) decorated with an independent $\operatorname{SLE}_{\kappa}$ ($\kappa=16/\gamma^{2}>4$) in terms of a correlated two-dimensional Brownian motion and provides a framework for showing that random planar maps decorated with statistical physics models converge to LQG decorated with an $\operatorname{SLE}$. Previously, the correlation for the Brownian motion was only explicitly identified as $-\cos(4\pi/\kappa)$ for $\kappa\in(4,8]$ and unknown for $\kappa>8$. The main result of this work is that this formula holds for all $\kappa>4$. This supplies the missing ingredient for proving convergence results of the aforementioned type for $\kappa>8$. Our proof is based on the calculation of a certain tail exponent for SLE$_{\kappa}$ on a quantum wedge and then matching it with an exponent which is well-known for Brownian motion.

La sphère de Peano (ou <<Accouplement d’arbres>>) construite par Duplantier, Miller, et Sheffield encode certains types de surfaces de $\gamma$-gravité quantique de Liouville (LQG) décorées par un $\operatorname{SLE}_{\kappa}$ (pour $\gamma\in(0,2)$ et $\kappa=16/\gamma^{2}>4$), en termes d’un mouvement Brownien $2$-dimensionnel corrélé et fournit un cadre pour montrer que les cartes planaires décorées par un modèle de physique statistique convergent vers un LQG décoré par un $\operatorname{SLE}$. Précédemment, la corrélation du mouvement Brownien était seulement explicitement identifiée à $-\cos(4\pi/\kappa)$ pour $\kappa\in(4,8]$, mais inconnue pour $\kappa>8$. Le résultat principal de ce travail est que cette formule reste vraie pour $\kappa>8$. Cela donne l’ingrédient manquant pour prouver les résultats de convergence mentionnés précédemment pour $\kappa>8$. Notre preuve est basée sur le calcul d’un exposant de queue pour le $\operatorname{SLE}_{\kappa}$ sur un coin quantique et sur son identification avec un exposant bien connu pour le mouvement Brownien.