Sur la courbe modulaire {$X\sb {ßize\text{ndép}}(11)$}

Abstract

The modular curve $\Xnd{11}$ (or $X_{\mathrm{nonsplit}}(11)$) classifies the elliptic curves $E$ such that Galois acts on the group of 11-torsion points of $E$ through the normaliser of a non-split Cartan subgroup. It is known that this curve has genus 1. We give here a parametrisation of this curve by a certain elliptic curve over $\Q$ with conductor 121. As an application, we give explicit examples of couples of elliptic curves over $\Q$ nonisogenous over $\Q$ but giving symplectically isomorphic modulo 11 Galois representations.

La courbe modulaire $\Xnd{11}$ classifie les courbes elliptiques $E$ telles que l'image de la représentation de Galois dans le groupe des points de 11-torsion de $E$ soit contenue dans le normalisateur d'un sous-groupe de Cartan non d'éployé. On sait que $\Xnd{11}$ est de genre 1. Nous donnons ici une paramétrisation de cette courbe par une certaine courbe elliptique sur $\Q$, de conducteur 121. Nous en déduisons des exemples explicites de couples de courbes elliptiques sur $\Q$ non isogènes sur $\Q$ mais donnant des représentations de Galois modulo 11 symplectiquement isomorphes.