Sur une conjecture de Kato et Kuzumaki concernant les hypersurfaces de Fano

Abstract

We prove that the field ${\mathbf{Q}}_p$ and totally imaginary number fields satisfy the $C_1^1$ property conjectured by Kato and Kuzumaki in 1986. In other words, if $k$ denotes one of these fields and $f\in k[x_0,\dots ,x_n]$ is a homogeneous polynomial of degree $d\le n$, every element of $k$ may be written as a product of norms from finite extensions of $k$ in which $f$ possesses a nontrivial zero. We also establish Ax’s conjecture about perfect pseudoalgebraically closed fields for fields whose absolute Galois group is a pro-$p$-group.

Nous montrons que le corps ${\mathbf{Q}}_p$ et les corps de nombres totalement imaginaires vérifient la propriété $C_1^1$ conjecturée par Kato et Kuzumaki en 1986. Autrement dit, si $k$ est l’un de ces corps et $f\in k[x_0,\dots ,x_n]$ est un polynôme homogène de degré $d\le n$, tout élément de $k$ s’écrit comme produit de normes depuis des extensions finies de $k$ dans lesquelles $f$ admet un zéro non trivial. Nous établissons aussi la conjecture d’Ax sur les corps pseudo-algébriquement clos parfaits pour les corps dont le groupe de Galois absolu est un pro-$p$-groupe.