Soit $A$ une variété abélienne définie sur un corps de nombres $k$. Nous démontrons qu’il existe un faisceau inversible ample et symétrique sur $A$ dont le degré est borné par une constante explicite qui dépend seulement de la dimension de $A$, de sa hauteur de Faltings et du degré du corps de nombres $k$. Nous établissons également des versions explicites du théorème de Bertrand relatif au théorème de réductibilité de Poincaré et des théorèmes d’isogénies de Masser et Wüstholz entre variétés abéliennes. Les preuves reposent sur des arguments de géométrie des nombres dans les réseaux euclidiens constitués des morphismes entre variétés abéliennes munis des métriques de Rosati. Nous majorons les minima successifs de ces réseaux grâce au théorème des périodes que nous avons démontré dans un article précédent.

Let $A$ be an abelian variety over a number field $k$. We prove that $A$ admits a polarization of degree explicitly bounded in terms of the Faltings height of $A$, its dimension and the degree of $k$. The fact that this could be done effectively was known only in special cases, thanks to the work of Masser and Wüstholz. We also provide sharpened, explicit versions of their isogeny and factorization estimates, as well as of a result of Bertrand about almost complements of abelian subvarieties. One crucial tool is our recent period theorem and the proofs proceed through the detailed study of lattices of morphisms of abelian varieties, endowed with euclidean metrics deduced from suitable Rosati involutions.