Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière

Abstract

En nous appuyant sur la conjecture de Bloch–Kato en K-théorie de Milnor, nous établissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré $4$ et le troisième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Ceci permet de montrer que sur un solide (en anglais, űthreefold») uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ s’annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d’obtenir que dans certains cas. Ceci permet à l’inverse de déduire d’exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré $4$ peut être en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines familles à un paramètre de surfaces, on établit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l’indice de la fibre générique.

Building upon the Bloch–Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree $4$. As a first consequence, a geometric theorem of Voisin implies that the third unramified cohomology group with $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Colliot-Thélène and Ojanguren implies that the integral Hodge conjecture in degree $4$ fails for unirational varieties of dimension at least $6$. For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fiber.