Duke Mathematical Journal

Le groupe GL$_{N}$ tordu, sur un corps $p$-adique, 1ère partie

J.-L. Waldspurger

Full-text: Access denied (no subscription detected) We're sorry, but we are unable to provide you with the full text of this article because we are not able to identify you as a subscriber. If you have a personal subscription to this journal, then please login. If you are already logged in, then you may need to update your profile to register your subscription. Read more about accessing full-text

Abstract

Soient $F$ un corps local non archimédien de caractéristique nulle et $N$ un entier pair${\geq}2$. On considère les groupes algébriques réductifs suivants, tous deux définis et déployés sur $F:{\bf G}={\bf GL}_{N}$ et ${\bf H}={\bf SO}(N+1)$. Soit ${\bf G}^{+}={\bf G}\times\{1,\theta\}$, où $\theta^2=1$ et $\theta$ agit sur ${\bf G}$ par un automorphisme extérieur non trivial. Ce groupe n'est pas connexe. On note $\tilde{\bf G} = {\bf G}\theta$ la composante connexe qui contient $\theta$. Le groupe ${\bf H}$ est un groupe endoscopique de ${\bf G}^+$. Une conjecture prédit qu'à tout $L$-paquet $\Pi^H$ de représentations admissible, irréductibles et tempérées de ${\bf H}(F)$, on peut associer une représentation admissible et irréductible $\pi^+$ de ${\bf G}^+(F)$, de sorte que la restriction á $\tilde{\bf G}(F)$ du caractère de $\pi^+$ soit un transfert endoscopique du caractère de $\Pi^H$ (lequel est la somme des caractères des représentations appartenant à $\Pi^H$). Cette notion de transfert se traduit par des égalités simples entre les caractères de $\pi^+$ et $\Pi^H$. Dans la seconde partie de cet article, nous démontrerons cette conjecture pour certains $L$-paquets $\Pi^H$ très particuliers, en supposant valide le “lemme fondamental” pour notre paire $({\bf G}^+, {\bf H})$. Dans cette première partie, nous généralisons au groupe ${\bf G}^+$ certains résultats d'analyse harmonique qui sont bien connus pour les groupes connexes. Nous prouvons aussi que le lemme fondamental pour $({\bf G}^+, {\bf H})$ implique un lemme fondamental “non standard” reliant les algèbres de Lie des groupes ${\bf SO}(N+1)$ et ${\bf Sp}(N)$.

Let $F$ be a nonarchimedean local field of characteristic zero, and let $N$ be an even integer at least $2$. Consider the following algebraic groups, both defined and split over $F$: ${\bf G}={\bf GL}_{N}$ and ${\bf H}={\bf SO}(N+1)$. Let ${\bf G}^+={\bf G}\rtimes \{1,\theta\}$, where $\theta^2=1$ and $\theta$ act on ${\bf G}$ as the nontrivial outer automorphism. It is a nonconnected group. Let $\tilde{{\bf G}}={\bf G}\theta$ be the connected component that contains $\theta$. The group ${\bf H}$ is an endoscopic group of ${\bf G}^+$. A conjecture predicts that to every $L$-packet $\Pi^H$ of admissible, irreducible, and tempered representations of ${\bf H}(F)$, we can associate an admissible and irreducible representation $\pi^+$ of ${\bf G}^+(F)$, so that the restriction to $\tilde{{\bf G}}(F)$ of the character of $\pi^+$ is an endoscopic transfer of the character of $\Pi^H$ (i.e., the sum of the characters of the representations belonging to $\Pi^H$). This notion of transfer is equivalent to simple equalities between characters of $\pi^+$ and $\Pi^H$. In the second part of this article, we give the construction that associates $\pi^+$ to $\Pi^H$, and we prove the equalities between their characters. We consider only $L$-packets of discrete series representations of “unipotent reduction.” (This property includes representations that contain nonzero vectors invariant by an Iwahori subgroup.) Our result is conditional: we suppose a fundamental lemma for our pair $({\bf G}^+,{\bf H})$. In the first part, we generalize for the group ${\bf G}^+$ certain results of harmonic analysis which are well known for connected groups. We also prove that the fundamental lemma for $({\bf G}^+,{\bf H})$ implies a “nonstandard” fundamental lemma relying on the Lie algebras of the groups ${\bf SO}(N+1)$ and ${\bf Sp}(N)$

Article information

Source
Duke Math. J. Volume 137, Number 2 (2007), 185-234.

Dates
First available in Project Euclid: 28 March 2007

Permanent link to this document
http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1175098355

Digital Object Identifier
doi:10.1215/S0012-7094-07-13721-9

Subjects
Primary: 22E50: Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields [See also 20G05]
Secondary: 22E35: Analysis on $p$-adic Lie groups

Citation

Waldspurger, J.-L. Le groupe GL N tordu, sur un corps p -adique, 1ère partie. Duke Math. J. 137 (2007), no. 2, 185--234. doi:10.1215/S0012-7094-07-13721-9. http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1175098355.


Export citation

References

  • J. Arthur, The invariant trace formula, II: Global theory, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 501--554.
  • —, ``Unipotent automorphic représentations: Global motivation'' in Automorphic Forms, Shimura Varieties, and L-Functions, Vol. I (Ann Arbor, Mich., 1988), Perspect. Math. 10, Academic Press, Boston, 1990, 1--75.
  • —, On elliptic tempered characters, Acta Math. 171 (1993), 73--138.
  • —, On local character relations, Selecta Math. (N.S.) 2 (1996), 501--579.
  • J. Bernstein, P. Deligne, et D. Kazhdan, Trace Paley-Wiener theorem for reductive $p$-adic groups, J. Analyse Math. 47 (1986), 180--192.
  • A. Borel et N. Wallach, Continuous Cohomology, Discrete Subgroups, and Representations of Reductive Groups, Ann. of Math. Stud. 94, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980.
  • L. Clozel, Characters of nonconnected, reductive $p$-adic groups, Canad. J. Math. 39 (1987), 149--167.
  • L. Clozel et P. Delorme, Le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs, Invent. Math. 77 (1984), 427--453.
  • R. A. Herb, Supertempered virtual characters, Compositio Math. 93 (1994), 139--154.
  • R. E. Kottwitz et J. D. Rogawski, The distributions in the invariant trace formula are supported on characters, Canad. J. Math. 52 (2000), 804--814.
  • R. E. Kottwitz et D. Shelstad, Foundations of Twisted Endoscopy, Astérisque 255, Soc. Math. France, Montrouge, 1999.
  • J.-P. Labesse, Noninvariant Base Change Identities, Mém. Soc. Math. France (N.S.) 61, Soc. Math. France, Montrouge, 1995.
  • —, Stable twisted trace formula: Elliptic terms, J. Inst. Math. Jussieu 3 (2004), 473--530.
  • P. Mezo, Twisted trace Paley-Wiener theorems for special and general linear groups, Compos. Math. 140 (2004), 205--227.
  • C. Moeglin et J.-L. Waldspurger, Paquets stables de représentations tempérées et de réduction unipotente pour SO$(2n+1)$, Invent. Math. 152 (2003), 461--623.
  • J. Rogawski, Trace Paley-Wiener theorem in the twisted case, Trans. Amer. Math. Soc. 309 (1988), 215--229.
  • P. Schneider et U. Stuhler, Representation theory and sheaves on the Bruhat-Tits building, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 85 (1997), 97--191.
  • J.-L. Waldspurger, Homogénéité de certaines distributions sur les groupes $p$-adiques, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 81 (1995), 25--72.
  • —, Une formule des traces locale pour les algèbres de Lie $p$-adiques, J. Reine Angew. Math. 465 (1995), 41--99.
  • —, Le lemme fondamental implique le transfert, Compositio Math. 105 (1997), 153--236.
  • —, Transformation de Fourier et endoscopie, J. Lie Theory 10 (2000), 195--206.
  • —, Intégrales orbitales nilpotentes et endoscopie pour les groupes classiques non ramifiés, Astérisque 269, Soc. Math. France, Montrouge, 2001.