Algèbres simples centrales à involution de première espèce

Abstract

This article provides new and elementary proofs for some of the crucial theorems in the theory of central simple algebras with involution of the first kind. In the first place Albert's criterion for the existence of an involution of the first kind and Kneser's extension theorem for such involutions are presented in a unified way. These two results are retrieved as corollaries of a new theorem which gives a criterion to decide whether an antiautomorphism of a central simple algebra is an involution of the first kind. Two examples are given to indicate that the analogous approach cannot be applied to involutions of the second kind. Quaternion algebras give the easiest nontrivial examples of central simple algebras which carry an involution of the first kind. Albert has shown that any central simple algebra of dimension $16$ with involution of the first kind is a tensor product of two quaternion algebras. This theorem is presented here with a new proof essentially using basic linear algebra.

Le présent travail a pour but de fournir des preuves nouvelles et élémentaires de quelques résultats clés en théorie des algèbres simples centrales à involution. Il vise à permettre au lecteur familier des notions de base sur les algèbres simples centrales et sur les involutions (rappelées en Section~2) d'aborder directement la question de la structure des algèbres admettant une involution de première espèce. On traite en premier lieu le critère d'existence d'involutions de première espèce, dû à A. A. Albert, ainsi qu'un théorème d'extension d'une involution de M. Kneser, ici pour une involution de première espèce. Ces deux résultats sont ob\-tenus comme corollaires du théorème~1 qui donne un critère simple pour qu'un anti-automorphisme d'une algèbre simple centrale soit une involution. Deux exemples indiquent que cette approche ne s'applique pas aux involutions de deuxième espèce. On démontre ensuite, à partir des propriétés usuelles des algèbres de quaternions, deux résultats, dûs à \mbox{Albert} et à J.-P. Tignol et L.~H.~Rowen, sur la structure des algèbres simples centrales à involution de première espèce et de degré~$4$.