Noise reinforcement for Lévy processes

Abstract

In a step reinforced random walk, at each integer time and with a fixed probability $p\in (0,1)$, the walker repeats one of his previous steps chosen uniformly at random, and with complementary probability $1-p$, the walker makes an independent new step with a given distribution. Examples in the literature include the so-called elephant random walk and the shark random swim. We consider here a continuous time analog, when the random walk is replaced by a Lévy process. For sub-critical (or admissible) memory parameters $p<p_{c}$, where $p_{c}$ is related to the Blumenthal–Getoor index of the Lévy process, we construct a noise reinforced Lévy process. Our main result shows that the step-reinforced random walks corresponding to discrete time skeletons of the Lévy process, converge weakly to the noise reinforced Lévy process as the time-mesh goes to $0$.

Dans une marche aléatoire à pas renforcés, à chaque instant entier et avec une probabilité fixée $p\in (0,1)$, le marcheur répète un de ses précédents pas tiré uniformément au hasard, et avec probabilité $1-p$ effectue un nouveau pas indépendant de loi donnée. Comme exemples dans la littérature figurent l’elephant random walk et le shark random swim. Nous nous intéressons ici à un analogue en temps continu, c’est-à-dire lorsque la marche aléatoire est remplacée par un processus de Lévy. Pour des paramètres de mémoire sous-critiques (ou encore admissibles) $p<p_{c}$, où $p_{c}$ est lié à l’indice de Blumenthal–Getoor du processus de Lévy, nous construisons un processus de Lévy à bruit renforcé. Notre résultat principal établit la convergence en loi des marches aléatoires à pas renforcés associées aux squelettes discrets d’un processus de Lévy, vers le processus de Lévy à bruit renforcé, lorsque que le pas de la subdivision du temps tend vers $0$.