Bayesian linear inverse problems in regularity scales

Abstract

We obtain rates of contraction of posterior distributions in inverse problems defined by scales of smoothness classes. We derive abstract results for general priors, with contraction rates determined by Galerkin approximation. The rate depends on the amount of prior concentration near the true function and the prior mass of functions with inferior Galerkin approximation. We apply the general result to non-conjugate series priors, showing that these priors give near optimal and adaptive recovery in some generality, Gaussian priors, and mixtures of Gaussian priors, where the latter are also shown to be near optimal and adaptive. The proofs are based on general testing and approximation arguments, without explicit calculations on the posterior distribution. We are thus not restricted to priors based on the singular value decomposition of the operator. We illustrate the results with examples of inverse problems resulting from differential equations.

Nous obtenons le taux de contraction des distributions a posteriori dans les problèmes inverses définis par des classes d’échelles de régularité. Nous obtenons des résultats abstraits pour des lois a posteriori générales déterminées par des approximations de type Galerkin. Le taux dépend du niveau de concentration de la loi a priori au voisinage des vrais paramètres et de la probabilité a priori de l’ensemble des paramètres avec approximation Galerkin inférieure. Nous appliquons le résultat abstrait a trois types de lois a priori : au cas des séries aléatoires non conjuguées, montrant ainsi que ces mesures a priori donnent une récupération presque optimale sous des hypothèses assez générales ; au cas des mesures gaussiennes ; et au cas des mélanges de gaussiennes, où il est également démontré que ces derniers sont presque optimaux et adaptatifs. Les preuves sont basées sur des tests statistiques et arguments d’approximation, sans calculs explicites sur la loi a posteriori. Nous ne sommes donc pas limités aux lois a priori basées sur la décomposition en valeurs singulières de l’opérateur. Nous illustrons les résultats par des exemples de problèmes inverses résultant d’équations différentielles.