The Green’s function on the double cover of the grid and application to the uniform spanning tree trunk

Abstract

We compute the Green’s function on the double cover of $\mathbb{Z}^{2}$, branched over a vertex or a face. We use this result to compute the local statistics of the “trunk” of the uniform spanning tree on the square lattice, i.e., the limiting probabilities of cylinder events conditional on the path connecting far away points passing through a specified edge. We also show how to compute the local statistics of large-scale triple points of the uniform spanning tree, where the trunk branches. The method reduces the problem to a dimer system with isolated monomers, and we compute the inverse Kasteleyn matrix using the Green’s function on the double cover of the square lattice. For the trunk, the probabilities of cylinder events are in $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, while for the triple points the probabilities are in $\mathbb{Q}[1/\pi ]$.

Nous calculons la fonction de Green sur le revêtement à deux feuillets de $\mathbb{Z}^{2}$, ramifié au-dessus d’un sommet ou d’une face. Nous utilisons ce résultat pour calculer les statistiques locales du « tronc » de l’arbre couvrant minimal sur le réseau carré, c’est-à-dire les probabilités limites des événements cylindriques conditionnées à ce que le chemin connectant deux sommets éloignés passe par une arête donnée. Nous montrons également comment calculer les statistiques locales des points triples à grande échelle de l’arbre couvrant minimal, où le tronc se sépare. La méthode consiste à ramener le problème à un système de dimères avec des monomères isolés, et nous calculons l’inverse de la matrice de Kasteleyn à l’aide de la fonction de Green sur le revêtement deux feuillets du réseau carré. Pour le tronc, les probabilités des événements cylindriques sont dans $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$, tandis que pour les points triples, les probabilités sont dans $\mathbb{Q}[1/\pi]$.