Sampling of probability measures in the convex order by Wasserstein projection

Abstract

In this paper, for $\mu $ and $\nu $ two probability measures on $\mathbb{R}^{d}$ with finite moments of order $\varrho \ge 1$, we define the respective projections for the $W_{\varrho}$-Wasserstein distance of $\mu $ and $\nu $ on the sets of probability measures dominated by $\nu $ and of probability measures larger than $\mu $ in the convex order. The $W_{2}$-projection of $\mu $ can be easily computed when $\mu $ and $\nu $ have finite support by solving a quadratic optimization problem with linear constraints. In dimension $d=1$, Gozlan et al. (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (3) (2018) 1667–1693) have shown that the projection of $\mu$ does not depend on $\varrho $. We explicit their quantile functions in terms of those of $\mu $ and $\nu $. The motivation is the design of sampling techniques preserving the convex order in order to approximate Martingale Optimal Transport problems by using linear programming solvers. We prove convergence of the Wasserstein projection based sampling methods as the sample sizes tend to infinity and illustrate them by numerical experiments.

Soient $\mu $ et $\nu $ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^{d}$ ayant un moment d’ordre $\varrho \ge 1$ fini. Dans ce papier, nous définissons respectivement les projections de $\mu $ et $\nu $ pour la distance de Wasserstein $W_{\varrho}$ sur l’ensemble des probabilités dominées par $\nu $ et sur l’ensemble des probabilités dominant $\mu $ pour l’ordre convexe. Pour $\varrho =2$, la projection de $\mu $ peut facilement être calculée lorsque $\mu $ et $\nu $ ont un support fini en résolvant un problème de minimisation quadratique avec des contraintes linéaires. En dimension $d=1$, Gozlan et al. (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (3) (2018) 1667–1693) ont montré que la projection de $\mu $ ne dépend pas de $\varrho $. Nous donnons ici l’expression de la fonction quantile de cette projection à l’aide des fonctions quantiles de $\mu $ et $\nu $. La motivation de cette étude est de fournir une méthode d’échantillonage permettant de préserver l’ordre convexe. Cela permet ensuite d’approcher les problèmes de transport optimal martingale en utilisant un solveur de programmation linéaire. Nous prouvons la convergence des méthodes d’échantillonage basées sur la projection Wasserstein lorsque la taille des échantillons tend vers l’infini, et illustrons cette convergence par des exemples numériques.