Local densities for a class of degenerate diffusions

Abstract

We study a class of $\mathbb{R}^{d}$-valued continuous strong Markov processes that are generated, only locally, by an ultra-parabolic operator with coefficients that are regular w.r.t. the intrinsic geometry induced by the operator itself and not w.r.t. the Euclidean one. The first main result is a local Itô formula for functions that are not twice-differentiable in the classical sense, but only intrinsically w.r.t. to a set of vector fields, related to the generator, satisfying the Hörmander condition. The second main contribution, which builds upon the first one, is an existence and regularity result for the local transition density.

Dans cet article on étudie une classe de processus de type Markov fort continus à valeurs dans $\mathbb{R}^{d}$ qui sont engendrés, seulement localement, par un opérateur ultra-parabolique avec des coefficients réguliers par rapport à la géométrie intrinsèque induite par l’opérateur lui-même et non par rapport à la géométrie euclidienne. On obtient deux résultats importants. Le premier est une formule locale d’Itô valable pour des fonctions qui ne sont pas deux fois différentiables dans le sens classique, mais seulement intrinsèquement par rapport à un ensemble de champs de vecteurs, liés au générateur, satisfaisant à la condition d’Hörmander. La deuxième contribution, qui s’appuie sur la première, est un résultat d’existence et de régularité pour la densité de transition locale.