Weak uniqueness and density estimates for SDEs with coefficients depending on some path-functionals

Abstract

In this article, we develop a methodology to prove weak uniqueness for stochastic differential equations with coefficients depending on some path-functionals of the process. As an extension of the technique developed by Bass and Perkins (In From Probability to Geometry (I): Volume in Honor of the 60th Birthday of Jean-Michel Bismut (2009) 47–53) in the standard diffusion case, the proposed methodology allows one to deal with process whose probability laws is singular with respect to the Lebesgue measure. To illustrate our methodology, we prove weak existence and uniqueness in the two following examples: a diffusion process with coefficients depending on its running local time and a diffusion process with coefficients depending on its running maximum. In each example, we also prove the existence of the associated transition density and establish some Gaussian upper-estimates.

Dans cet article, nous développons une méthodologie permettant de prouver l’unicité faible pour des équations différentielles stochastiques dont les coefficients dépendent de certaines fonctionnelles de la trajectoire du processus. Dans le prolongement de la technique développée par Bass & Perkins (In From Probability to Geometry (I): Volume in Honor of the 60th Birthday of Jean-Michel Bismut (2009) 47–53) dans le cas des processus de diffusions standards, la méthologie proposée permet de traiter le cas de processus dont la loi est singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Afin d’illustrer notre méthodologie, nous prouvons l’existence et l’unicité faible dans les deux exemples suivants: un processus de diffusion dont les coefficients dépendent du temps local en zéro courant et un processus de diffusion dont les coefficients dépendent du maximum courant. Dans chaque exemple, nous prouvons également l’existence d’une densité de transition associée et établissons des estimées Gaussiennes.