On a non-linear 2D fractional wave equation

Abstract

We investigate the following non-linear stochastic wave equation model: \begin{equation*}\begin{cases}\partial^{2}_{t}u-\Delta u=u^{2}+\dot{B},\quad t\in[0,T],x\in\mathbb{R}^{2},\\u(0,\cdot)=\phi_{0},\qquad \partial_{t}u(0,\cdot)=\phi_{1},\end{cases}\end{equation*} where $\phi_{0},\phi_{1}$ are deterministic initial conditions in an appropriate Sobolev space and $\dot{B}$ stands for a space–time fractional noise. In this two-dimensional situation, we develop a strategy based on a third-order expansion of the equation, which, combined with a Wick-renormalization procedure, allows us to extend the results of Deya (2019) to a rougher noise.

We also point out the limits of this specific strategy when considering a highly rough noise.

Nous nous intéressons au modèle d’équation des ondes stochastique non-linéaire suivant: \begin{equation*}\begin{cases}\partial^{2}_{t}u-\Delta u=u^{2}+\dot{B},\quad t\in[0,T],x\in\mathbb{R}^{2},\\u(0,\cdot)=\phi_{0},\qquad \partial_{t}u(0,\cdot)=\phi_{1},\end{cases}\end{equation*} où $\phi_{0},\phi_{1}$ sont des conditions initiales déterministes dans un espace de Sobolev approprié et $\dot{B}$ représente un bruit fractionnaire espace-temps. Dans cette situation bi-dimensionnelle, notre stratégie est basée sur un développement de l’équation à l’ordre trois, qui, combiné à une procédure de renormalisation de type Wick, nous permet d’étendre les résultats de Deya (2019) à des bruits plus rugueux.

Nous mettons également en avant les limites de cette stratégie particulière en présence de processus très irréguliers.