A large deviation principle for empirical measures on Polish spaces: Application to singular Gibbs measures on manifolds

Abstract

We prove a large deviation principle for a sequence of point processes defined by Gibbs probability measures on a Polish space. This is obtained as a consequence of a more general Laplace principle for the non-normalized Gibbs measures. We consider four main applications: Conditional Gibbs measures on compact spaces, Coulomb gases on compact Riemannian manifolds, the usual Gibbs measures in the Euclidean space and the zeros of Gaussian random polynomials. Finally, we study the generalization of Fekete points and prove a deterministic version of the Laplace principle known as $\Gamma$-convergence. The approach is partly inspired by the works of Dupuis and co-authors. It is remarkably natural and general compared to the usual strategies for singular Gibbs measures.

On montre un principe de grandes déviations pour une suite de processus ponctuels définis par des mesures de probabilités de Gibbs dans un espace polonais. Il est obtenu comme conséquence d’un principe de Laplace pour des mesures de Gibbs non normalisées. On considère quatre applications: Des mesures de Gibbs conditionnées dans des espaces compacts, des gaz de Coulomb sur des variétés riemanniennes compactes, les mesures de Gibbs habituelles sur l’espace euclidien et les zéros des polynômes aléatoires gaussiens. Finalement, on étudie la généralisation des points Fekete et on prouve une version déterministe du principe de Laplace appelée $\Gamma$-convergence. Notre approche est partiellement inspirée par les travaux de Dupuis et ses coauteurs. C’est notablement naturelle et générale en comparaison avec les stratégies habituelles pour les mesures de Gibbs singulières.