Limit law of a second class particle in TASEP with non-random initial condition

Abstract

We consider the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) with non-random initial condition and density $\lambda$ on $\mathbb{Z}_{-}$ and $\rho$ on $\mathbb{Z}_{+}$, and a second class particle initially at the origin. For $\lambda<\rho$, there is a shock and the second class particle moves with speed $1-\lambda-\rho$. For large time $t$, we show that the position of the second class particle fluctuates on the $t^{1/3}$ scale and determine its limiting law. We also obtain the limiting distribution of the number of steps made by the second class particle until time $t$.

On considère le processus d’exclusion simple totalement asymétrique avec des condition initiales déterministes, densité $\lambda$ sur $\mathbb{Z}_{-}$ et $\rho$ sur $\mathbb{Z}_{+}$. Initialement on place une particule de deuxième classe à l’origine. Si $\lambda<\rho$, un choc est créé et la particule de deuxième classe le suit avec vitesse $1-\lambda-\rho$. Dans la limite $t\to\infty$, on démontre que les fluctuations de la position de la particule de deuxième classe sont de l’ordre $t^{1/3}$ et on obtient sa loi limite. On détermine aussi la loi limite du nombre de sauts faits par la particule de deuxième classe jusqu’à l’instant $t$.