Continuous-state branching processes, extremal processes and super-individuals

Abstract

The long-term behavior of flows of continuous-state branching processes are characterized through subordinators and extremal processes. The extremal processes arise in the case of supercritical processes with infinite mean and of subcritical processes with infinite variation. The jumps of these extremal processes are interpreted as specific initial individuals whose progenies overwhelm the population. These individuals, which correspond to the records of a certain Poisson point process embedded in the flow, are called super-individuals. They radically increase the growth rate to $+\infty$ in the supercritical case, and slow down the rate of extinction in the subcritical one.

Les comportements en temps long des flots de processus de branchement en temps et espace continus sont caractérisés par des subordinateurs et des processus extrémaux. Les processus extrémaux apparaissent dans le cas des processus sur-critiques de moyenne infinie et des processus sous-critiques à variation infinie. Les sauts de ces processus extrémaux sont interprétés comme des individus initiaux spécifiques dont les descendances envahissent la population. Ces individus, qui correspondent aux instants de records d’un certain processus ponctuel de Poisson, sont appelés super-individus. Ils augmentent de façon radicale la vitesse de divergence dans le cas sur-critique et diminuent celle d’extinction dans le cas sous-critique.