Condensation of a self-attracting random walk

Abstract

We introduce a Gibbs measure on nearest-neighbour paths of length $t$ in the Euclidean $d$-dimensional lattice, where each path is penalised by a factor proportional to the size of its boundary and an inverse temperature $\beta $. We prove that, for all $\beta >0$, the random walk condensates to a set of diameter $(t/\beta )^{1/3}$ in dimension $d=2$, up to a multiplicative constant. In all dimensions $d\ge 3$, we also prove that the volume is bounded above by $(t/\beta )^{d/(d+1)}$ and the diameter is bounded below by $(t/\beta )^{1/(d+1)}$. Similar results hold for a random walk conditioned to have local time greater than $\beta $ everywhere in its range when $\beta $ is larger than some explicit constant, which in dimension two is the logarithm of the connective constant.

Nous introduisons une mesure de Gibbs sur les chemins de longueur $t$ dans le réseau Euclidien de dimension $d$, telle qu’un chemin donné est penalisé par un facteur proportionnel à la taille de sa frontière et l’inverse d’une température $\beta >0$. Nous montrons qu’en dimension $d=2$, la marche aléatoire se condense dans un ensemble de diamètre $(t/\beta )^{1/3}$ à une constante multiplicative près. En dimensions $d\ge 3$, nous montrons que la marche occupe un volume inférieur à $(t/\beta )^{d/(d+1)}$ et son diamètre est au moins $(t/\beta )^{1/(d+1)}$. Des résultats similaires sont obtenus pour une marche aléatoire conditionnée à avoir un temps local supérieur à $\beta $ en chaque point visité, pourvu que $\beta $ soit supérieur à une constante explicite qui en deux dimensions est égale au logarithme de la constante de connectivité.