Location of the spectrum of Kronecker random matrices

Abstract

For a general class of large non-Hermitian random block matrices ${\boldsymbol X}$ we prove that there are no eigenvalues away from a deterministic set with very high probability. This set is obtained from the Dyson equation of the Hermitization of ${\boldsymbol X}$ as the self-consistent approximation of the pseudospectrum. We demonstrate that the analysis of the matrix Dyson equation from (Probab. Theory Related Fields (2018)) offers a unified treatment of many structured matrix ensembles.

Pour une classe générale de grandes matrices aléatoires par blocs non hermitiennes ${\boldsymbol X}$, nous montrons qu’avec très grande probabilité, il n’y a pas de valeurs propres en dehors d’un ensemble déterministe. Cet ensemble est obtenu à partir de l’équation de Dyson pour l’hermitisation de ${\boldsymbol X}$ comme l’approximation auto-cohérente du pseudo-spectre. Nous démontrons que l’analyse de l’équation de Dyson provenant de (Probab. Theory Related Fields (2018)) permet d’étudier de façon unifiée de nombreux ensembles de matrices structurées.