Location of the path supremum for self-similar processes with stationary increments

Abstract

In this paper we consider the distribution of the location of the path supremum in a fixed interval for self-similar processes with stationary increments. A point process is constructed and its relation to the distribution of the location of the path supremum is studied. Using this framework, we show that the distribution has a spectral-type representation, in the sense that it is always a mixture of a special group of absolutely continuous distributions, plus point masses on the two boundaries. An upper bound for the value of the density function is established. We further discuss self-similar Lévy processes as an example. Most of the results in this paper can be generalized to a group of random locations, including the location of the largest jump, etc.

Dans cet article, nous considérons la distribution de la position du supremum de la trajectoire d’un processus auto-similaire à accroissements stationnaires dans un intervalle fixé. Un processus ponctuel est construit et sa relation avec la distribution de la position du supremum est étudiée. Dans ce cadre, nous montrons que cette distribution a une représentation de type spectral, dans le sens où il s’agit toujours d’un mélange d’un groupe particulier de distributions absolument continues et de masses ponctuelles aux bords de l’intervalle. Une borne supérieure pour la valeur de la fonction de densité est obtenue. De plus, à titre d’exemple, nous discutons des processus de Lévy auto-similaires. La plupart des résultats de cet article peuvent être généralisés à un groupe de positions aléatoires, y compris la position du plus grand saut, etc.