How can a clairvoyant particle escape the exclusion process?

Abstract

We study a detection problem in the following setting: On the one-dimensional integer lattice, at time zero, place detectors on each site independently with probability $\rho \in{[0,1)}$ and let they evolve as a simple symmetric exclusion process. At time zero, place a target at the origin. The target moves only at integer times, and can move to any site that is within distance $R$ from its current position. Assume also that the target can predict the future movement of all detectors. We prove that, for $R$ large enough (depending on the value of $\rho $) it is possible for the target to avoid detection forever with positive probability. The proof of this result uses two ingredients of independent interest. First we establish a renormalisation scheme that can be used to prove percolation for dependent oriented models under a certain decoupling condition. This result is general and does not rely on the specifities of the model. As an application, we prove our main theorem for different dynamics, such as independent random walks and independent renewal chains. We also prove existence of oriented percolation for random interlacements and for its vacant set for large dimensions. The second step of the proof is a space–time decoupling for the exclusion process.

Nous étudions un problème de détection dans le cadre suivant : sur le réseau entier unidimensionnel, au temps 0, on place des détecteurs sur chaque site indépendamment avec probabilité $\rho \in{[0,1)}$ et on les laisse évoluer suivant un processus d’exclusion simple symétrique. Au temps 0, on place une cible à l’origine. Cette cible bouge seulement aux temps entiers, et peut se déplacer en tous les sites jusqu’à une distance $R$ de sa position courante. Supposons aussi que la cible connait le déplacement futur de tous les détecteurs. Nous prouvons que, pour $R$ assez grand (en fonction de la valeur $\rho $), il est possible pour la cible d’éviter la détection en tout temps avec probabilité positive. La preuve de ce résultat utilise deux ingrédients d’intérêt indépendant. Premièrement, nous établissons un argument de renormalisation qui peut être utilisé pour prouver la percolation pour des modèles dépendants orientés sous une certaine condition de découplage. Le résultat est général et ne s’appuie pas sur les propriétés spécifiques du modèle. Comme application, nous démontrons notre résultat pour différentes dynamiques, comme les marches aléatoires indépendantes et les chaînes de renouvellement indépendantes. Nous montrons aussi l’existence de la percolation orientée pour les entrelacs aléatoires et pour l’ensemble vacant en grandes dimensions. La deuxième étape de la preuve est basée sur un découplage espace-temps pour le processus d’exclusion.