A variational approach to some transport inequalities

Abstract

In this paper, we relate transport-entropy inequalities to the minimization of certain functionals defined on the space of probability measures. This approach leads in particular to a new proof of a result by Otto and Villani (J. Funct. Anal. 173 (2000) 361–400) showing that the logarithmic Sobolev inequality implies Talagrand’s transport inequality.

Dans cet article, nous proposons une approche des inégalités de transport-entropie fondée sur la minimisation de certaines fonctionnelles définies sur l’espace des mesures de probabilité. Cette approche nous permet en particulier de donner une nouvelle preuve d’un résultat d’Otto et Villani (J. Funct. Anal. 173 (2000) 361–400) montrant que l’inégalité de Sobolev logarithmique entraîne l’inégalité de transport de Talagrand.