Minimax goodness-of-fit testing in ill-posed inverse problems with partially unknown operators

Abstract

We consider a Gaussian sequence model that contains ill-posed inverse problems as special cases. We assume that the associated operator is partially unknown in the sense that its singular functions are known and the corresponding singular values are unknown but observed with Gaussian noise. For the considered model, we study the minimax goodness-of-fit testing problem. Working with certain ellipsoids in the space of square-summable sequences of real numbers, with a ball of positive radius removed, we obtain lower and upper bounds for the minimax separation radius in the non-asymptotic framework, i.e., for fixed values of the involved noise levels. Examples of mildly and severely ill-posed inverse problems with ellipsoids of ordinary-smooth and super-smooth sequences are examined in detail and minimax rates of goodness-of-fit testing are obtained for illustrative purposes.

Nous considérons un modèle séquentiel gaussien incluant des modèles de type « problème inverse » comme cas particulier. Nous supposons que l’opérateur associé est partiellement connu au sens où les fonctions propres associées à la décomposition en valeurs singulières sont connues, mais pas les valeurs propres. Ces dernières sont malgré tout observables en présence d’un bruit gaussien. Dans ce cadre, nous nous concentrons sur l’étude d’un problème de test d’adéquation. En utilisant à la fois une condition d’énergie sur le signal considéré ainsi que des propriétés de régularité, nous établissons des bornes supérieures et inférieures pour la vitesse minimax de séparation dans un cadre asymptotique, i.e. pour des valeurs fixées des niveaux de bruit impliqués dans les observations. Pour finir, des exemples particuliers de problèmes inverses et de régularités sont considérés et les vitesses minimax de séparation correspondantes sont discutées en détail afin d’illustrer les résultats obtenus.