Spectra of nearly Hermitian random matrices

Abstract

We consider the eigenvalues and eigenvectors of matrices of the form $\mathbf{M}+\mathbf{P}$, where $\mathbf{M}$ is an $n\times n$ Wigner random matrix and $\mathbf{P}$ is an arbitrary $n\times n$ deterministic matrix with low rank. In general, we show that none of the eigenvalues of $\mathbf{M}+\mathbf{P}$ need be real, even when $\mathbf{P}$ has rank one. We also show that, except for a few outlier eigenvalues, most of the eigenvalues of $\mathbf{M}+\mathbf{P}$ are within $n^{-1}$ of the real line, up to small order corrections. We also prove a new result quantifying the outlier eigenvalues for multiplicative perturbations of the form $\mathbf{S}(\mathbf{I}+\mathbf{P})$, where $\mathbf{S}$ is a sample covariance matrix and $\mathbf{I}$ is the identity matrix. We extend our result showing all eigenvalues except the outliers are close to the real line to this case as well. As an application, we study the critical points of the characteristic polynomials of nearly Hermitian random matrices.

Nous considérons les valeurs et les vecteurs propres de matrices de la forme $\mathbf{M}+\mathbf{P}$, où $\mathbf{M}$ est une matrice de Wigner $n\times n$ et $\mathbf{P}$ est une matrice arbitraire déterministe $n\times n$ de rang petit. Nous montrons que, génériquement, aucune des valeurs propres de $\mathbf{M}+\mathbf{P}$ n’est réelle, même quand $\mathbf{P}$ a rang un. Nous montrons aussi que, sauf pour un petit nombre d’exceptions, la plupart des valeurs propres de $\mathbf{M}+\mathbf{P}$ sont à distance au plus $n^{-1}$ de la droite réelle, à des corrections d’ordre petit près. Nous montrons aussi un nouveau résultat qui quantifie les valeurs propres exceptionnelles pour des perturbations multiplicatives de la forme $\mathbf{S}(\mathbf{I}+\mathbf{P})$, où $\mathbf{S}$ est une matrice de covariance empirique et $\mathbf{I}$ est la matrice identité. Nous étendons à ce cas notre résultat montrant que toutes les valeurs propres sauf les valeurs propres exceptionnelles sont proches de la droite réelle. Comme application, nous étudions les points critiques du polynôme caractéristique de matrices aléatoires presque hermitiennes.