Horton self-similarity of Kingman’s coalescent tree

Abstract

The paper establishes Horton self-similarity for a tree representation of Kingman’s coalescent process. The proof is based on a Smoluchowski-type system of ordinary differential equations that describes evolution of the number of branches of a given Horton–Strahler order in a tree that represents Kingman’s $N$-coalescent, in a hydrodynamic limit. We also demonstrate a close connection between the combinatorial Kingman’s tree and the combinatorial level set tree of a white noise, which implies Horton self-similarity for the latter.

Cet article prouve l’auto-similarité à la Horton pour la représentation par arbres du processus de coalescence de Kingman. La preuve est basée sur un système d’équations différentielles ordinaires de type Smoluchowski décrivant, dans la limite hydrodynamique, l’évolution du nombre de branches d’un ordre de Horton–Strahler donné dans un arbre représentant le $N$-coalescent de Kingman. Nous prouvons aussi un lien étroit entre l’arbre de Kingman combinatoire et l’arbre combinatoire des ensembles de niveaux d’un bruit blanc, ce qui implique l’auto-similarité à la Horton de ce dernier.