A dynamical Curie–Weiss model of SOC: The Gaussian case

Abstract

In this paper, we introduce a Markov process whose unique invariant distribution is the Curie–Weiss model of self-organized criticality (SOC) we designed and studied in (Ann. Probab. 44(1):444-478, 2016). In the Gaussian case, we prove rigorously that it is a dynamical model of SOC: the fluctuations of the sum $S_{n}(\cdot)$ of the process evolve in a time scale of order $\sqrt{n}$ and in a space scale of order $n^{3/4}$ and the limiting process is the solution of a “critical” stochastic differential equation.

Dans cet article, nous introduisons un processus de Markov dont l’unique distribution invariante est le modèle d’Ising Curie–Weiss de criticalité auto-organisée que nous avons construit et étudié dans (Ann. Probab. 44(1):444-478, 2016). Dans le cas Gaussien, nous montrons rigoureusement qu’il s’agit d’un modèle dynamique de criticalité auto-organisée : les fluctuations de la somme $S_{n}(\cdot)$ du processus évoluent à une vitesse de temps d’ordre $\sqrt{n}$ et à une échelle spatiale d’ordre $n^{3/4}$ et le processus limite est la solution d’une équation différentielle stochastique « critique ».