Simple CLE in doubly connected domains

Abstract

Loop Ensemble ($\operatorname{CLE}_{\kappa}$) in doubly connected domains: annuli, the punctured disc, and the punctured plane. We restrict attention to $\operatorname{CLE}_{\kappa}$ for which the loops are simple, i.e. $\kappa\in(8/3,4]$. In (Ann. of Math. (2) 176 (2012) 1827–1917), simple $\operatorname{CLE}$ in the unit disc is introduced and constructed as the collection of outer boundaries of outermost clusters of the Brownian loop soup. For simple $\operatorname{CLE}$ in the unit disc, any fixed interior point is almost surely surrounded by some loop of $\operatorname{CLE}$. The gasket of the collection of loops in $\operatorname{CLE}$, i.e. the set of points that are not surrounded by any loop, almost surely has Lebesgue measure zero. In the current paper, simple $\operatorname{CLE}$ in an annulus is constructed similarly: it is the collection of outer boundaries of outermost clusters of the Brownian loop soup conditioned on the event that there is no cluster disconnecting the two components of the boundary of the annulus. Simple $\operatorname{CLE}$ in the punctured disc can be viewed as simple $\operatorname{CLE}$ in the unit disc conditioned on the event that the origin is in the gasket. Simple $\operatorname{CLE}$ in the punctured plane can be viewed as simple $\operatorname{CLE}$ in the whole plane conditioned on the event that both the origin and infinity are in the gasket. We construct and study these three kinds of $\operatorname{CLE}$’s, along with the corresponding exploration processes.

Nous étudions l’ensemble des boucles conformes ($\operatorname{CLE}_{\kappa}$) dans des domaines connexes du type : anneau, disque percé et plan percé. Nous considérons les cas $\operatorname{CLE}_{\kappa}$ pour lesquels les boucles sont simples, i.e. $\kappa\in(8/3,4]$. Dans (Ann. of Math. (2) 176 (2012) 1827–1917), l’ensemble $\operatorname{CLE}$ dans le disque unité est introduit et construit comme la collection de frontières extérieures des amas les plus excentrés de la soupe de boucles Browniennes. Dans le cas du disque unité, n’importe quel point intérieur est presque sûrement entouré par une boucle du $\operatorname{CLE}$. L’ensemble des points qui ne sont entourés par aucune boucle a une mesure de Lebesgue nulle presque sûrement. Dans notre article, le $\operatorname{CLE}$ dans un anneau est construit de façon similaire : il s’agit de la collection de frontières extérieures des amas de la soupe de boucles Browniennes conditionnés sur l’évènement qu’il n’existe pas d’amas séparant les deux composantes de la frontière de l’anneau. Dans le cas du disque percé, le $\operatorname{CLE}$ correspond au conditionnement par le fait que l’origine n’est pas entourée par une boucle. Dans le cas du plan percé, le conditionnement est tel que l’origine et l’infini ne sont pas entourés. Nous construisons et étudions ces trois types de $\operatorname{CLE}$ et les processus d’exploration correspondants.