We introduce the method of Geodesic Principal Component Analysis (GPCA) on the space of probability measures on the line, with finite second moment, endowed with the Wasserstein metric. We discuss the advantages of this approach, over a standard functional PCA of probability densities in the Hilbert space of square-integrable functions. We establish the consistency of the method by showing that the empirical GPCA converges to its population counterpart, as the sample size tends to infinity. A key property in the study of GPCA is the isometry between the Wasserstein space and a closed convex subset of the space of square-integrable functions, with respect to an appropriate measure. Therefore, we consider the general problem of PCA in a closed convex subset of a separable Hilbert space, which serves as basis for the analysis of GPCA and also has interest in its own right. We provide illustrative examples on simple statistical models, to show the benefits of this approach for data analysis. The method is also applied to a real dataset of population pyramids.

Nous introduisons la méthode d’Analyse en Composantes Principales Géodésiques (GPCA) dans l’espace des mesures de probabilités à support sur la droite réelle, admettant un moment d’ordre deux, et muni de la métrique de Wasserstein. Nous discutons des avantages de cette approche par rapport à une ACP fonctionnelle standard de densités de probabilités dans l’espace de Hilbert des fonctions de carrés intégrable. Nous établissons la consistence de cette méthode en montrant que la GPCA empirique converge vers sa version population lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini. Une propriété clé dans l’étude de la GPCA est l’isométrie entre l’espace de Wasserstein et un sous-espace convexe fermé de l’ensemble des fonctions de carrés intégrable, par rapport à une mesure de référence appropriée. De ce fait, nous considérons le problème général de l’ACP dans un sous-ensemble convexe fermé d’un espace de Hilbert séparable, qui sert de base à l’analyse de la GPCA. Nous proposons différents exemples illustratifs à partir de modèles statistiques simples pour montrer les bénéfices de cette approche pour l’analyse de données. La méthode est également appliquée à un exemple réel sur les pyramides des âges.

Let $X$ be a continuous time random walk on a weighted graph. Given the on-diagonal upper bounds of transition probabilities at two vertices $x_{1}$ and $x_{2}$, we obtain Gaussian upper estimates for the off-diagonal transition probability $\mathbb{P}_{x_{1}}(X_{t}=x_{2})$ in terms of an adapted metric introduced by Davies.

Soit $X$ une marche aléatoire à temps continu sur un graphe pondéré. Etant données des bornes supérieures sur la transition de probabilité diagonale en deux sommets $x_{1}$ et $x_{2}$, nous obtenons des estimées supérieures gaussiennes sur la transition de probabilité $\mathbb{P}_{x_{1}}(X_{t}=x_{2})$ (qui est en dehors de la diagonale) en termes d’une métrique adaptée introduite par Davies.

Several stochastic processes modeling molecular motors on a linear track are given by random walks (not necessarily Markovian) on quasi 1d lattices and share a common regenerative structure. Analyzing this abstract common structure, we derive information on the large fluctuations of the stochastic process by proving large deviation principles for the first-passage times and for the position. We focus our attention on the Gallavotti–Cohen-type symmetry of the position rate function (fluctuation theorem), showing its equivalence with the independence of suitable random variables. In the special case of Markov random walks, we show that this symmetry is universal only inside a suitable class of quasi 1d lattices.

Nous considérons différents processus stochastiques modélisant des moteurs moléculaires : il s’agit de marches aléatoires, non nécessairement markoviennes, le long d’un rail linéaire, presque un réseau unidimensionnel, qui partagent une même structure de régénération. En analysant cette structure abstraite commune nous contrôlons les grandes déviations du processus stochastique, nous établissons des principes de grandes déviations pour les temps de premier passage et pour la variable de position. Nous nous concentrons sur les symétries de type Gallavotti–Cohen de la fonction de taux positionnelle (théorème de fluctuations), en montrant son équivalence avec l’indépendance de certaines variables aléatoires. Dans le cas particulier des marches aléatoires markoviennes, nous montrons que cette symétrie n’est universelle qu’au sein d’une classe particulière de réseaux presque unidimensionnels.

Massive and massless Gaussian free fields can be described as generalized Gaussian processes indexed by an appropriate space of functions. In this article we study various approaches to approximate these fields and look at the fractal properties of the thick points of their cut-offs. Under some sufficient conditions for a centered Gaussian process with logarithmic variance we study the set of thick points and derive their Hausdorff dimension. We prove that various cut-offs for Gaussian free fields satisfy these assumptions. We also give sufficient conditions for comparing thick points of different cut-offs.

Les champs libres gaussiens massifs et sans masse peuvent être décrits comme des processus gaussiens généralisées indexés par un espace fonctionnel approprié. Dans cet article nous abordons différentes approches pour approximer ces champs et nous considérons les propriétés fractales des points épais de leur cut-off. Sous certaines conditions suffisantes, pour un processus gaussien avec variance logarithmique nous étudions l’ensemble des points épais et obtenons leur dimension de Hausdorff. Nous prouvons que différents cut-off des champs libres gaussiens satisfont ces hypothèses. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour comparer les points épais des différents cut-off.

We consider a non-integrable model for interacting dimers on the two-dimensional square lattice. Configurations are perfect matchings of $\mathbb{Z}^{2}$, i.e. subsets of edges such that each vertex is covered exactly once (“close-packing” condition). Dimer configurations are in bijection with discrete height functions, defined on faces $\boldsymbol{\xi}$ of $\mathbb{Z}^{2}$. The non-interacting model is “integrable” and solvable via Kasteleyn theory; it is known that all the moments of the height difference $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ converge to those of the massless Gaussian Free Field (GFF), asymptotically as $|\boldsymbol{\xi} -\boldsymbol{\eta} |\to\infty$. We prove that the same holds for small non-zero interactions, as was conjectured in the theoretical physics literature. Remarkably, dimer-dimer correlation functions are instead not universal and decay with a critical exponent that depends on the interaction strength. Our proof is based on an exact representation of the model in terms of lattice interacting fermions, which are studied by constructive field theory methods. In the fermionic language, the height difference $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ takes the form of a non-local operator, consisting of a sum of monomials along an arbitrary path connecting $\boldsymbol{\xi}$ and $\boldsymbol{\eta}$. As in the non-interacting case, this path-independence plays a crucial role in the proof.

Nous étudions un modèle non integrable de dimères en interaction sur le réseau carré bidimensionnel. Les configurations sont des appariements parfaits de $\mathbb{Z}^{2}$, i.e. des sous-ensembles d’arêtes tels que tout sommet est contenu dans une et une seule arête (condition de “close-packing”). Les configurations de dimères sont en bijection avec une fonction de hauteur discrète, définie sur les faces $\boldsymbol{\xi}$ de $\mathbb{Z}^{2}$. Le modèle sans interaction est “integrable” et resoluble par la théorie de Kasteleyn; il est connu que tous les moments de la différence de hauteur $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ convergent vers ceux du champ Gaussien libre (GFF), dans la limite où $|\boldsymbol{\xi} -\boldsymbol{\eta} |\to\infty$. Nous démontrons que le même résultat est valable quand le paramètre d’interaction est non nul et petit, comme il avait été conjecturé dans la littérature physique. Il est remarquable que, d’autre côté, les fonctions de correlation dimère-dimère ne sont pas universelles et décroissent avec un exposant critique qui dépend de la force de l’interaction. Notre preuve se base sur une representation exacte du modèle en termes de fermions en interaction su réseau, que nous étudions par des outils de la théorie constructive des champs. Dans le language fermionique, la différence de hauteur $h_{\boldsymbol{\xi} }-h_{\boldsymbol{\eta} }$ est un opérateur non local, qui s’écrit comme une somme de monômes le long d’un chemin arbitraire qui relie $\boldsymbol{\xi}$ et $\boldsymbol{\eta}$. Tout comme dans le cas sans interaction, l’indépendance par rapport au choix du chemin joue un rôle crucial dans la preuve.

Let $W_{\lambda,b}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{n}g(b^{n}x)$ where $b\geq2$ is an integer and $g(u)=\cos(2\pi u)$ (classical Weierstrass function). Building on work by Ledrappier (In Symbolic Dynamics and Its Applications (1992) 285–293), Barański, Bárány and Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) and Tsujii (Nonlinearity 14 (2001) 1011–1027), we provide an elementary proof that the Hausdorff dimension of $W_{\lambda,b}$ equals $2+\frac{\log\lambda }{\log b}$ for all $\lambda\in(\lambda_{b},1)$ with a suitable $\lambda_{b}<1$. This reproduces results by Barański, Bárány and Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) without using the dimension theory for hyperbolic measures of Ledrappier and Young (Ann. of Math. (2) 122 (1985) 540–574; Comm. Math. Phys. 117 (1988) 529–548), which is replaced by a simple telescoping argument together with a recursive multi-scale estimate.

Soit $W_{\lambda,b}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{n}g(b^{n}x)$, où $b\geq2$ est un nombre entier et $g(u)=\cos(2\pi u)$ (fonction de Weierstrass classique). En utilisant des idées et résultats de Ledrappier (In Symbolic Dynamics and Its Applications (1992) 285–293), de Barański, Bárány et Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) et de Tsujii (Nonlinearity 14 (2001) 1011–1027), nous présentons une démonstration élémentaire du fait que la dimension de Hausdorff de $W_{\lambda,b}$ est égale à $2+\frac{\log\lambda}{\log b}$ pour tout $\lambda\in(\lambda_{b},1)$ avec $\lambda_{b}<1$ approprié. Cela reproduit des résultats de Barański, Bárány et Romanowska (Adv. Math. 265 (2014) 32–59) sans utiliser la théorie de dimension des mesures hyperboliques de Ledrappier et Young (Ann. of Math. (2) 122 (1985) 540–574 ; Comm. Math. Phys. 117 (1988) 529–548), laquelle est remplacée par un argument téléscopique élémentaire conjointement avec une estimation récursive multi-échelle.

In this paper, we will show that the higher moments of the natural parametrization of $\mathit{SLE}$ curves in any bounded domain in the upper half plane is finite. We prove this by estimating the probability that an $\mathit{SLE}$ curve gets near $n$ given points.

Dans cet article, nous montrons que les grands moments de la paramétrisation naturelle d’une courbe $\mathit{SLE}$ dans n’importe quel domaine borné du demi-plan supérieur sont finis. Nous prouvons ceci en estimant la probabilité qu’une courbe $\mathit{SLE}$ soit proche d’un nombre $n$ de points fixés.

We introduce a certain class of 2-type Galton–Watson trees with edge lengths. We prove that, after an adequate rescaling, the weighted height function of a forest of such trees converges in law to the reflected Brownian motion. We then use this to deduce under mild conditions an invariance principle for multitype Galton–Watson trees with a countable number of types, thus extending a result of G. Miermont on multitype Galton–Watson trees with finitely many types.

Nous introduisons une certaine classe d’arbres de Galton–Watson à deux types avec longueurs d’arêtes. Nous prouvons qu’après une renormalisation adéquate, la fonction de hauteur pondérée d’une forêt de tels arbres converge en loi vers le mouvement brownien réfléchi. Nous déduisons ensuite de ceci, sous des hypothèses raisonnables, un principe d’invariance sur les arbres de Galton–Watson multitypes à ensemble de type dénombrable, étendant ainsi un résultat de G. Miermont sur les arbres de Galton–Watson multitypes à ensemble de types fini.

We develop a simple and intuitive identity for calculating expectations of weighted $k$-fold sums over particles in branching processes, generalising the well-known many-to-one lemma.

On développe une identité simple et intuitive pour calculer l’espérance des sommations $k$-plier sur particules dans les processus de branchement, la généralisation du lemme bien connu ‘many-to-one’.

In this paper we give an elementary approach to several results of Chatterjee in (Disorder chaos and multiple valleys in spin glasses (2013) arXiv:0907.3381, Comm. Math. Phys. 337 (2015) 93–102), as well as some generalizations. First, we prove quenched disorder chaos for the bond overlap in the Edwards–Anderson type models with Gaussian disorder. The proof extends to systems at different temperatures and covers a number of other models, such as the mixed $p$-spin model, Sherrington–Kirkpatrick model with multi-dimensional spins and diluted $p$-spin model. Next, we adapt the same idea to prove quenched self-averaging of the bond magnetization for one system and use it to show quenched self-averaging of the site overlap for random field models with positively correlated spins. Finally, we show self-averaging for certain modifications of the random field itself.

Dans cet article, nous présentons une approche élémentaire de plusieurs résultats de Chatterjee (Disorder chaos and multiple valleys in spin glasses (2013) arXiv:0907.3381, Comm. Math. Phys. 337 (2015) 93–102), et quelques généralisations. D’abord, nous prouvons, dans le cas d’un désordre quenched, un résultat de chaos pour le recouvrement par arêtes dans les modèles de type Edwards–Anderson avec désordre gaussien. La preuve s’étend à des systèmes à différentes températures et couvre d’autres modèles comme le modèle $p$-spins mixte, le modèle de Sherrington–Kirkpatrick avec des spins multi-dimensionnels et le modèle $p$-spin dilué. Ensuite, nous adaptons la même idée pour prouver la propriété d’auto-moyennisation du recouvrement par site et nous l’utilisons pour montrer le même résultat pour des modèles avec un champs aléatoire et des spins positivement corrélés. Enfin, nous montrons la propriété d’auto-moyennisation pour certaines modifications du champs aléatoire.

In this paper, we prove pathwise uniqueness for stochastic degenerate systems with a Hölder drift, for a Hölder exponent larger than the critical value $2/3$. This work extends to the degenerate setting the earlier results obtained by Zvonkin (Mat. Sb. (N.S.) 93(135) (1974) 129–149, 152), Veretennikov (Mat. Sb. (N.S.) 111(153) (1980) 434–452, 480), Krylov and Röckner (Probab. Theory Related Fields 131(2) (2005) 154–196) from non-degenerate to degenerate cases. The existence of a threshold for the Hölder exponent in the degenerate case may be understood as the price to pay to balance the degeneracy of the noise. Our proof relies on regularization properties of the associated PDE, which is degenerate in the current framework and is based on a parametrix method.

Dans ce travail, on montre qu’un système hypoelliptique, composé d’une composante diffusive et d’une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l’exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à $2/3$. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (Mat. Sb. (N.S.) 93(135) (1974) 129–149, 152), Veretennikov (Mat. Sb. (N.S.) 111(153) (1980) 434–452, 480), Krylov et Röckner (Probab. Theory Related Fields 131(2) (2005) 154–196). L’apparition d’un seuil critique pour l’exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l’EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix.

We study the invariant distributions of Hammersley’s serial harness process in all dimensions and height fluctuations in one dimension. Subject to mild moment assumptions there is essentially one unique invariant distribution, and all other invariant distributions are obtained by adding harmonic functions of the averaging kernel. We identify one Gaussian case where the invariant distribution is i.i.d. Height fluctuations in one dimension obey the stochastic heat equation with additive noise (Edwards–Wilkinson universality). We prove this for correlated initial data subject to fast enough polynomial decay of strong mixing coefficients, including process-level tightness in the Skorohod space of space–time trajectories.

Nous étudions la mesure invariante du processus de harnais de Hammersley en dimension arbitraire et les fluctuations de la hauteur en dimension un. Sous des hypothèses douces sur les moments, il y a essentiellement une mesure invariante unique, et toutes les autres mesures invariantes sont obtenues par l’addition de fonctions harmoniques du noyau. Nous identifions un cas Gaussien ou la mesure invariante est i.i.d. Les fluctuations de la hauteur en dimension un obéissent à l’équation stochastique de chaleur à bruit additif (universalité d’Edwards–Wilkinson). Nous démontrons ce résultat dans le cas de données initiales corrélées dont les coefficients de mélange fort décroissent assez rapidement, y compris l’étroitesse au niveau du processus dans l’espace de Skorohod de trajectoires spatio-temporelles.

We study the scaling limit of the volume and perimeter of the discovered regions in the Markovian explorations known as peeling processes for infinite random planar maps such as the uniform infinite planar triangulation (UIPT) or quadrangulation (UIPQ). In particular, our results apply to the metric exploration or peeling by layers algorithm, where the discovered regions are (almost) completed balls, or hulls, centered at the root vertex. The scaling limits of the perimeter and volume of hulls can be expressed in terms of the hull process of the Brownian plane studied in our previous work. Other applications include the metric exploration of the dual graph of our infinite random lattices, and first-passage percolation with exponential edge weights on the dual graph, also known as the Eden model or uniform peeling.

Nous étudions la limite d’échelle du processus des volumes et des périmètres des régions explorées par un algorithme « d’épluchage » sur les cartes infinies aléatoires telles que l’UIPT (la triangulation infinie uniforme du plan) ou son analogue quadrangulaire l’UIPQ. Nos résultats s’appliquent en particulier à l’exploration des boules (pour la distance de graphe) complétées et centrées à la racine de la carte. Dans ce cas, la limite d’échelle coïncide avec le processus du périmètre et du volume des boules complétées dans le plan brownien. Parmi les autres applications, mentionnons l’exploration des boules complétées sur la carte duale et la percolation de premier passage avec poids exponentiels sur la carte duale. Ce dernier modèle, équivalent au modèle d’Eden sur la carte initiale, correspond à l’algorithme d’épluchage uniforme.

In this paper, we prove a sample-path comparison principle for the nonlinear stochastic fractional heat equation on $\mathbb{R}$ with measure-valued initial data. We give quantitative estimates about how close to zero the solution can be. These results extend Mueller’s comparison principle on the stochastic heat equation to allow more general initial data such as the (Dirac) delta measure and measures with heavier tails than linear exponential growth at ${\pm}\infty$. These results generalize a recent work by Moreno Flores (Ann. Probab. 42 (2014) 1635–1643), who proves the strict positivity of the solution to the stochastic heat equation with the delta initial data. As one application, we establish the full intermittency for the equation. As an intermediate step, we prove the Hölder regularity of the solution starting from measure-valued initial data, which generalizes, in some sense, a recent work by Chen and Dalang (Stoch. Partial Differ. Equ. Anal. Comput. 2 (2014) 316–352).

Dans ce papier, nous montrons un principe de comparaison trajectoriel pour l’équation de la chaleur stochastique, fractionnaire, nonlinéaire sur $\mathbb{R}$ avec une donnée initiale à valeur mesure. Nous donnons des estimations quantitatives de la proximité à zéro d’une solution. Ces résultats étendent le principe de comparaison de Mueller pour l’équation de la chaleur stochastique et permettent de considérer des données initiales plus générales telles que des mesures de Dirac et des mesures à queue plus lourde qu’une croissance exponentielle linéaire en ${\pm}\infty$. Ces résultats généralisent un travail récent par Moreno Flores (Ann. Probab. 42 (2014) 1635–1643), qui a prouvé la stricte positivité de l’équation de la chaleur stochastique partant d’un Dirac. Comme application, nous établissons la complète intermittence pour l’équation. Dans une étape intermédiaire, nous prouvons la régularité Hölder de solutions partant d’une donnée initiale à valeur mesure ce qui généralise, dans un certain sens, un travail récent de Chen and Dalang (Stoch. Partial Differ. Equ. Anal. Comput. 2 (2014) 316–352).

This paper extends some prominent statistical results including Fisher Theorem and Wilks phenomenon to the penalized maximum likelihood estimation with a quadratic penalization. It appears that sharp expansions for the penalized MLE $\widetilde{\boldsymbol{\theta}}_{G}$ and for the penalized maximum likelihood can be obtained without involving any asymptotic arguments, the results only rely on smoothness and regularity properties of the of the considered log-likelihood function. The error of estimation is specified in terms of the effective dimension $\mathtt{p}_{G}$ of the parameter set which can be much smaller than the true parameter dimension and even allows an infinite dimensional functional parameter. In the i.i.d. case, the Fisher expansion for the penalized MLE can be established under the constraint “$\mathtt{p}_{G}^{2}/n$ is small” while the remainder in the Wilks result is of order $\sqrt{\mathtt{p}_{G}^{3}/n}$.

Cet article généralise certains résultats statistiques importants dont le Théorème de Fisher et le phénomène de Wilks à l’estimation du maximum de vraisemblance pénalisée de façon quadratique. Il apparaît que des développements précis pour l’EMV pénalisée $\widetilde{\boldsymbol{\theta}}_{G}$ et le maximum de vraisemblance pénalisé peuvent être obtenus sans arguments asymptotiques, les résultats reposent alors seulement sur la régularité et les propriétés de la fonction de log-vraisemblance. L’erreur d’estimation est spécifiée en fonction de la dimension effective $\mathtt{p}_{G}$ de l’ensemble des paramètres qui peut être beaucoup plus petite que la véritable dimension et permet ainsi de considérer un cas infini dimensionnel. Dans le cas i.i.d., le développement de Fisher pour l’EMV pénalisée peut être établi sous la contrainte « $\mathtt{p}_{G}^{2}/n$ est petit » tandis que le reste dans le résultat de Wilks est d’ordre $\sqrt{\mathtt{p}_{G}^{3}/n}$.

We investigate the high-temperature behavior of the directed polymer model in dimension $1+2$. More precisely we study the difference $\Delta\mathtt{F}(\beta)$ between the quenched and annealed free energies for small values of the inverse temperature $\beta$. This quantity is associated to localization properties of the polymer trajectories, and is related to the overlap fraction of two replicas. Adapting recent techniques developed by the authors in the context of the disordered pinning model (Berger and Lacoin, 2015), we identify the sharp asymptotic high temperature behavior

\[\lim_{\beta\to0}\beta^{2}\log\Delta \mathtt{F}(\beta)=-\pi.\]

Nous analysons le comportement du modèle de polymère dirigé en dimension $1+2$, dans la limite de haute température. Plus précisément, nous étudions la différence $\Delta\mathtt{F}(\beta)$ entre les énergies libres gelées et recuites, pour les petites valeurs de la température inverse $\beta$. Cette quantité est associée à des propriétés de localisation des trajectoires du polymère, et est reliée à la fraction de superposition de deux répliques. En adaptant des techniques récemment développées par les auteurs dans le contexte du modèle d’accrochage désordonné (Berger et Lacoin, 2015), nous identifions le comportement asymptotique précis dans la limite de haute température

\[\lim_{\beta\to0}\beta^{2}\log\Delta\mathtt{F}(\beta)=-\pi.\]

We construct an irreversible local Markov dynamics on configurations of up-right paths on a discrete two-dimensional torus, that preserves the Gibbs measures for the six vertex model. An additional feature of the dynamics is a conjecturally nontrivial drift of the height function.

Nous construisons une dynamique de Markov locale et irréversible sur des configurations de chemins sur un tore bidimensionnel qui préserve la mesure de Gibbs du modèle à six sommets. Une caractéristique de cette dynamique est qu’elle devrait induire une dérive non triviale de la fonction de hauteur.

In this paper we provide new conditions for the Malliavin differentiability of solutions of Lipschitz or quadratic BSDEs. Our results rely on the interpretation of the Malliavin derivative as a Gâteaux derivative in the directions of the Cameron–Martin space. Incidentally, we provide a new formulation for the characterization of the Malliavin–Sobolev type spaces $\mathbb{D}^{1,p}$.

Dans cet article, nous donnons de nouvelles conditions nous assurant que les solutions d’EDSR à générateurs lipschitziens ou à croissance quadratique sont différentiables au sens de Malliavin, en utilisant l’interprétation de la dérivée de Malliavin comme dérivée de Gâteaux directionnelle par rapport à l’espace de Cameron–Martin. Ce résultat est en outre basé sur une nouvelle caractérisation des espaces de Malliavin–Sobolev $\mathbb{D}^{1,p}$ que nous fournissons.

It follows from Oseledec Multiplicative Ergodic Theorem (or Kingman’s Sub-additive Ergodic Theorem) that the Lyapunov-irregular set of points for which the Oseledec averages of a given continuous cocycle diverge has zero measure with respect to any invariant probability measure. In strong contrast, for any dynamical system $f:X\rightarrow X$ with exponential specification property and a Hölder continuous matrix cocycle $A:X\rightarrow \operatorname{GL}(m,\mathbb{R})$, we show here that if there exist ergodic measures with different Lyapunov spectrum, then the Lyapunov-irregular set of $A$ is residual (i.e., containing a dense $G_{\delta}$ set). Here we point out that exponential specification is introduced and plays critical role, and it is still unknown whether specification is enough. The above result can be used not only for all mixing hyperbolic systems but also for some non-hyperbolic systems.

Le théorème ergodique multiplicatif d’Oseledets (ou le théorème ergodique sous-additif de Kingman) implique que l’ensemble Lyapounov-irrégulier (les points pour lesquels la moyenne d’Oseledets d’un cocycle continu donné diverge) est de mesure nulle pour toute mesure de probabilité invariante. Par contraste avec ce fait, nous montrons que pour tout système dynamique $f:X\rightarrow X$ satisfaisant la spécification exponentielle, et pour tout cocycle de matrices $A:X\rightarrow \operatorname{GL}(m,\mathbb{R})$ Hölder continu, s’il existe des mesures ergodiques avec des spectres de Lyapounov distincts, alors l’ensemble Lyapounov-irrégulier de $A$ est résiduel (i.e., il contient un $G_{\delta}$-dense). Nous mettons donc en évidence le rôle critique de la spécification exponentielle. Il n’est pas connu si cette propriété est suffisante. Notre résultat s’applique à tous les systèmes hyperboliques mélangeants et à certains systèmes non-hyperboliques.