Subgeometric rates of convergence in Wasserstein distance for Markov chains

Abstract

In this paper, we provide sufficient conditions for the existence of the invariant distribution and for subgeometric rates of convergence in Wasserstein distance for general state-space Markov chains which are (possibly) not irreducible. Compared to (Ann. Appl. Probab. 24 (2) (2014) 526–552), our approach is based on a purely probabilistic coupling construction which allows to retrieve rates of convergence matching those previously reported for convergence in total variation in (Bernoulli 13 (3) (2007) 831–848).

Our results are applied to establish the subgeometric ergodicity in Wasserstein distance of non-linear autoregressive models and of the pre-conditioned Crank–Nicolson Markov chain Monte Carlo algorithm in Hilbert space.

Dans cet article, nous donnons des conditions suffisantes pour l’existence d’une probabilité invariante et qui permettent d’établir des taux de convergence sous-géométriques en distance de Wasserstein, pour des chaînes de Markov définies sur des espaces d’états généraux et non nécessairement irréductibles. Comparée à (Ann. Appl. Probab. 24 (2) (2014) 526–552), notre approche est basée sur une construction par couplage purement probabiliste, ce qui permet de retrouver les taux de convergence obtenus précédement pour la variation total dans (Bernoulli 13 (3) (2007) 831–848).

Par application de ces résultats, nous établissons la convergence sous-géométrique en distance de Wasserstein de modèles non linéaires auto-régressifs et l’algorithme de MCMC, l’algorithme de Crank–Nicolson pré-conditionné dans les espaces de Hilbert, pour une certaine classe de mesure cible.