Weak shape theorem in first passage percolation with infinite passage times

Abstract

We consider the model of i.i.d. first passage percolation on $\mathbb{Z}^{d}$: we associate with each edge $e$ of the graph a passage time $t(e)$ taking values in $[0,+\infty]$, such that $\mathbb{P}[t(e)<+\infty]>p_{c}(d)$. Equivalently, we consider a standard (finite) i.i.d. first passage percolation model on a super-critical Bernoulli percolation performed independently. We prove a weak shape theorem without any moment assumption. We also prove that the corresponding time constant is positive if and only if $\mathbb{P}[t(e)=0]<p_{c}(d)$.

Nous considérons le modèle standard de percolation de premier passage sur $\mathbb{Z}^{d}$ : nous associons à chaque arête $e$ du graphe un temps de passage $t(e)$ à valeurs dans $[0,+\infty]$, tel que $\mathbb{P}[t(e)<+\infty]>p_{c}(d)$. De façon équivalente, nous considérons un modèle de percolation de premier passage standard (fini) sur le graphe obtenu par une percolation de Bernoulli sur-critique réalisée indépendamment. Nous prouvons un théorème de forme faible sans aucune hypothèse de moment. Nous prouvons aussi que la constante de temps correspondante est strictement positive si et seulement si $\mathbb{P}[t(e)=0]<p_{c}(d)$.