Suppose that $(X,Y,Z)$ is a random walk in $\mathbb{Z}^{3}$ that moves in the following way: on the first visit to a vertex only $Z$ changes by $\pm1$ equally likely, while on later visits to the same vertex $(X,Y)$ performs a two-dimensional random walk step. We show that this walk is transient thus answering a question of Benjamini, Kozma and Schapira. One important ingredient of the proof is a dispersion result for martingales.

Supposons que $(X,Y,Z)$ soit une marche aléatoire dans $\mathbb{Z}^{3}$ qui se déplace de la façon suivante : à la première visite en un site, seule la coordonnée $Z$ saute de $\pm1$ avec probabilité uniforme, et aux visites suivantes en ce site $(X,Y)$ effectue un saut dans l’ensemble $\{(\pm1,0),(0,\pm1)\}$ avec probabilité uniforme. Nous montrons que cette marche est transiente, répondant ainsi à une question de Benjamini, Kozma et Schapira. Un ingrédient important de la preuve est un résultat de dispersion pour les martingales.

In this paper we consider an excited random walk (ERW) on $\mathbb{Z}$ in identically piled periodic environment. This is a discrete time process on $\mathbb{Z}$ defined by parameters $(p_{1},\dots,p_{M})\in[0,1]^{M}$ for some positive integer $M$, where the walker upon the $i$th visit to $z\in\mathbb{Z}$ moves to $z+1$ with probability $p_{i\ (\mathrm{mod}\ M)}$, and moves to $z-1$ with probability $1-p_{i\ (\mathrm{mod}\ M)}$. We give an explicit formula in terms of the parameters $(p_{1},\dots,p_{M})$ which determines whether the walk is recurrent, transient to the left, or transient to the right. In particular, in the case that $\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}p_{i}=\frac{1}{2}$ all behaviors are possible, and may depend on the order of the $p_{i}$. Our framework allows us to reprove some known results on ERW and branching processes with migration with no additional effort.

Dans ce papier, nous considérons une marche aléatoire excitée (MAE) sur $\mathbb{Z}$ en environnement empilé de manière identique et périodique. Il s’agit d’un processus à temps discret sur $\mathbb{Z}$ défini par des paramètres $(p_{1},\dots,p_{M})\in[0,1]^{M}$ pour un certain entier strictement positif $M$, où le marcheur, après la $i$ième visite au site $z\in\mathbb{Z}$ se déplace soit en $z+1$ avec probabilité $p_{i\ (\mathrm{mod}\ M)}$, soit en $z-1$ avec probabilité $1-p_{i\ (\mathrm{mod}\ M)}$. Nous donnons une formule explicite en fonction des paramètres $(p_{1},\dots,p_{M})$ qui détermine si la marche est récurrente, transiente vers la gauche, ou transiente vers la droite. En particulier, dans le cas où $\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}p_{i}=\frac{1}{2}$, tous les comportements sont possibles et peuvent dépendre de l’ordre des $p_{i}$. Notre approche permet de retrouver directement certains résultats connus sur les MAE et les processus de branchement sans immigration.

We study harmonic measure in finite graphs with an emphasis on expanders, that is, positive spectral gap. It is shown that if the spectral gap is positive then for all sets that are not too large the harmonic measure from a uniform starting point is not more than a constant factor of the uniform measure on the set. For large sets there is a tight logarithmic correction factor. We also show that positive spectral gap does not allow for a fixed proportion of the harmonic measure of sets to be supported on small subsets, in contrast to the situation in Euclidean space. The results are quantitative as a function of the spectral gap, and apply also when the spectral gap decays to $0$ as the size of the graph grows to infinity. As an application we consider a model of diffusion limited aggregation, or $\mathsf{DLA}$, on finite graphs, obtaining upper bounds on the growth rate of the aggregate.

On étudie la mesure harmonique sur les graphes finis en s’intéressant de près au cas des expanseurs, c’est à dire des graphes dont le trou spectral est positif. On montrera que dans ce cas, pour tout sous-ensemble pas trop gros, la mesure harmonique vue d’un point uniforme est bornée par un facteur multiplicatif fois la mesure uniforme sur l’ensemble. Pour les gros ensembles il y a une correction logarithmique tendue. On montrera aussi que dans le cas d’un trou spectral positif, une proportion constante de la mesure harmonique ne peut pas être supportée par de petits sous-ensembles, contrairement à ce qui se passe dans le cas euclidien. Des résultats quantitatifs sont présentés en fonction de la taille du trou spectral, et s’appliquent aussi lorsque cette taille tend vers $0$ lorsque la taille du graphe tend vers l’infini. En application, on considèrera un modèle d’agrégation limitée par diffusion ($\mathsf{DLA}$) sur des graphes finis, pour obtenir des bornes supérieures sur la croissance de l’aggrégat.

We prove that the only nearest neighbor jump process with local dependence on the occupation times satisfying the partially exchangeable property is the vertex reinforced jump process, under some technical conditions (Theorem 4). This result gives a counterpart to the characterization of edge reinforced random walk given by Rolles (Probab. Theory Related Fields 126 (2003) 243–260).

Nous montrons que le seul processus de saut sur les plus proches voisins avec une dépendance locale par rapport aux temps d’occupation et satisfaisant la propriété d’échangeabilité partielle est, sous quelques conditions techniques, le processus de saut avec renforcement par sommet (Théorème 4). Ce résultat donne une contrepartie à la caractérisation de la marche aléatoire avec renforcement par arête obtenue par Rolles (Probab. Theory Related Fields 126 (2003) 243–260).

We are interested in Sinai’s walk $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. We prove that the annealed probability that $\sum_{k=0}^{n}f(S_{k})$ is strictly positive for all $n\in[1,N]$ is equal to $1/(\log N)^{(3-\sqrt{5})/2+o(1)}$, for a large class of functions $f$, and in particular for $f(x)=x$. The persistence exponent $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ first appears in a nonrigorous paper of Le Doussal, Monthus and Fischer, with motivations coming from physics. The proof relies on techniques of localization for Sinai’s walk and uses results of Cheliotis about the sign changes of the bottom of valleys of a two-sided Brownian motion.

Nous nous intéressons à la marche de Sinai $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. Nous prouvons que la probabilité annealed que $\sum_{k=0}^{n}f(S_{k})$ soit strictement positive pour tout $n\in[1,N]$ est égale à $1/(\log N)^{(3-\sqrt{5})/2+o(1)}$, pour une large classe de fonctions $f$, et en particulier pour $f(x)=x$. L’exposant de persistance $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ est d’abord apparu dans un article non rigoureux de Le Doussal, Monthus et Fischer, avec des motivations venant de la physique. La preuve est basée sur des techniques de localisation pour la marche de Sinai et utilise des résultats de Cheliotis sur les changements de signe des fonds de vallées d’un mouvement Brownien indexé par $\mathbb{R}$.

Consider the $d$ dimensional lattice $\mathbb{Z}^{d}$ where each vertex is open or closed with probability $p$ or $1-p$ respectively. An open vertex $\mathbf{u}:=(\mathbf{u}(1),\mathbf{u}(2),\ldots,\mathbf{u}(d))$ is connected by an edge to another open vertex which has the minimum $L_{1}$ distance among all the open vertices $\mathbf{x}$ with $\mathbf{x}(d)>\mathbf{u}(d)$. It is shown that this random graph is a tree almost surely for $d=2$ and $3$ and it is an infinite collection of disjoint trees for $d\geq4$. In addition, for $d=2$, we show that when properly scaled, the family of its paths converges in distribution to the Brownian web.

Nous considérons le réseau $\mathbb{Z}^{d}$ dont les sommets sont ouverts ou fermés, respectivement avec probabilité $p$ et $1-p$. Chaque sommet ouvert $\mathbf{u}=(\mathbf{u}(1),\mathbf{u}(2),\dots,\mathbf{u}(d))$ est connecté par une arête au sommet ouvert $\mathbf{x}$ le plus proche de lui, pour la distance $L_{1}$, et satisfaisant $\mathbf{x}(d)>\mathbf{u}(d)$. Nous montrons que le graphe aléatoire résultant est presque sûrement un arbre pour $d=2$ et $3$, et qu’il est une collection infinie d’arbres disjoints pour $d\geq4$. De plus, pour $d=2$, nous montrons que la famille de ses trajectoires correctement renormalisées converge en loi vers la toile Brownienne.

We consider the distribution of the maximum $M_{T}$ of branching Brownian motion with time-inhomogeneous variance of the form $\sigma^{2}(t/T)$, where $\sigma(\cdot)$ is a strictly decreasing function. This corresponds to the study of the time-inhomogeneous Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov (F-KPP) equation $F_{t}(x,t)=\sigma^{2}(1-t/T)F_{xx}(x,t)/2+g(F(x,t))$, for appropriate nonlinearities $g(\cdot)$. Fang and Zeitouni (J. Stat. Phys. 149 (2012) 1–9) showed that $M_{T}-v_{\sigma}T$ is negative of order $T^{1/3}$, where $v_{\sigma}=\int_{0}^{1}\sigma(s)\,\mathrm{d}s$. In this paper, we show the existence of a function $m'_{T}$, such that $M_{T}-m'_{T}$ converges in law, as $T\rightarrow\infty$. Furthermore, $m'_{T}=v_{\sigma}T-w_{\sigma}T^{1/3}-\sigma(1)\log T+O(1)$ with $w_{\sigma}=2^{-1/3}\alpha_{1}\int_{0}^{1}\sigma(s)^{1/3}|\sigma'(s)|^{2/3}\,\mathrm{d}s$. Here, $-\alpha_{1}=-2.33811\ldots$ is the largest zero of the Airy function $\operatorname{Ai}$. The proof uses a mixture of probabilistic and analytic arguments.

Nous étudions la loi du maximum $M_{T}$ d’un mouvement brownien branchant avec une variance inhomogène en temps de la form $\sigma^{2}(t/T)$, où $\sigma(\cdot)$ est une fonction strictement décroissante. Ceci correspond à étudier l’équation Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov (F-KPP) inhomogène en temps, $F_{t}(x,t)=\sigma^{2}(1-t/T)F_{xx}(x,t)/2+g(F(x,t))$, pour des nonlinéarités $g(\cdot)$ appropriées. Fang et Zeitouni (J. Stat. Phys. 149 (2012) 1–9) ont montré que $M_{T}-v_{\sigma}T$ est negatif de l’ordre $T^{1/3}$, où $v_{\sigma}=\int_{0}^{1}\sigma(s)\,\mathrm{d}s$. Dans cet article, nous montrons l’existence d’une fonction $m'_{T}$ telle que $M_{T}-m'_{T}$ converge en loi quand $T\rightarrow\infty$. De plus, $m'_{T}=v_{\sigma}T-w_{\sigma}T^{1/3}-\sigma(1)\log T+O(1)$ avec $w_{\sigma}=2^{-1/3}\alpha_{1}\int_{0}^{1}\sigma(s)^{1/3}|\sigma'(s)|^{2/3}\,\mathrm{d}s$. Ici, $-\alpha_{1}=-2.33811\ldots$ est la plus grande racine de la fonction d’Airy $\operatorname{Ai}$. La démonstration repose sur un mélange d’arguments probabilistes et analytiques.

We consider a critical continuous-time branching process (a Yule process) in which the individuals independently execute symmetric $\alpha$-stable random motions on the real line starting at their birth points. Because the branching process is critical, it will eventually die out, and so there is a well-defined maximal location $M$ ever visited by an individual particle of the process. We prove that the distribution of $M$ satisfies the asymptotic relation $P\{M\geq x\}\sim(2/\alpha)^{1/2}x^{-\alpha/2}$ as $x\rightarrow\infty$.

Nous considérons un processus de branchement en temps continu critique (processus de Yule) dont les individus suivent indépendamment un processus $\alpha$-stable symétrique réel issu de leur point de naissance. Le processus de branchement étant critique, il s’éteint presque surement et nous pouvons définir la valeur $M$ qui représente la position maximale jamais atteinte par un individu. Nous montrons que la distribution de $M$ satisfait l’estimée asymptotique suivante : $P\{M\ge x\}\sim (2/\alpha)^{1/2}x^{-\alpha/2}$.

Let us consider a real valued Lévy process $X$ whose transition probabilities are absolutely continuous and have bounded densities. Then the law of the past supremum of $X$ before any deterministic time $t$ is absolutely continuous on $(0,\infty)$. We show that its density $f_{t}(x)$ is continuous on $(0,\infty)$ if and only if the potential density $h'$ of the upward ladder height process is continuous on $(0,\infty)$. Then we prove that $f_{t}$ behaves at 0 as $h'$. We also describe the asymptotic behaviour of $f_{t}$, when $t$ tends to infinity. Then some related results are obtained for the density of the meander and this of the entrance law of the Lévy process conditioned to stay positive.

Soit $X$ un processus de Lévy réel dont les probabilités de transition sont absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue. Dans ce cas, il est connu que la loi du supremum passé avant un temps déterministe $t$ est elle-même absolument continue sur $(0,\infty)$. En supposant de plus que les densités sont bornées, nous montrons que la densité $f_{t}(x)$ du supremum passé est continue en $x$ sur $(0,\infty)$, si et seulement si la densité potentielle $h'(x)$ du subordinateur des hauteurs d’échelle ascendant est continue sur $(0,\infty)$. Nous montrons alors que $f_{t}$ se comporte en 0 de la même manière que $h'$. Nous donnons également une description du comportement asymptotique de $f_{t}$, lorsque $t$ tend vers l’infini. Enfin nous appliquons ces résultats pour étudier le comportement asymptotique de la densité du méandre des processus de Lévy et de la densité de la loi d’entrée des processus de Lévy conditionnés à rester positifs.

This paper provides a large deviation principle for non-Markovian, Brownian motion driven stochastic differential equations with random coefficients. Similar to Gao and Liu (Stoch. Dyn. 6 (2006) 487–520), this extends the corresponding results collected in Freidlin and Wentzell (Random Perturbations of Dynamical Systems (1984) Springer). However, we use a different line of argument, adapting the PDE method of Fleming (Appl. Math. Optim. 4 (1978) 329–346) and Evans and Ishii (Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985) 1–20) to the path-dependent case, by using backward stochastic differential techniques. Similar to the Markovian case, we obtain a characterization of the action function as the unique bounded solution of a path-dependent version of the Eikonal equation. Finally, we provide an application to the short maturity asymptotics of the implied volatility surface in financial mathematics.

Nous montrons un principe de grandes déviations pour les équations différentielles stochastiques non-markoviennes, dirigées par un mouvement brownien, et à coefficients aléatoires dépendant de l’ensemble du passé. Comme dans Gao et Liu (Stoch. Dyn. 6 (2006) 487–520), ceci étend les résultats correspondants dans Freidlin et Wentzell (Random Perturbations of Dynamical Systems (1984) Springer). Cependant, nous utilisons un argument différent, adaptant la méthode d’EDP de Fleming (Appl. Math. Optim. 4 (1978) 329–346) et Evans et Ishii (Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985) 1–20) au cas des équations dépendant des trajectoires, en utilisant des techniques d’équations différentielles stochastiques rétrogrades. Comme dans le cas markovien, nous obtenons une caractérisation de la fonction d’action comme l’unique solution bornée d’une version non markovienne de l’équation eikonale. Enfin, nous proposons une application à l’analyse asymptotique, en maturité courte, de la surface de volatilité implicite en mathématiques financières.

We establish the anomalous mean dissipation rate of energy in the inviscid limit for a stochastic shell model of turbulent fluid flow. The proof relies on viscosity independent bounds for stationary solutions and on establishing ergodic and mixing properties for the viscous model. The shell model is subject to a degenerate stochastic forcing in the sense that noise acts directly only through one wavenumber. We show that it is hypo-elliptic (in the sense of Hörmander) and use this property to prove a gradient bound on the Markov semigroup.

Nous étudions le taux anormal de la dissipation moyenne de l’énergie dans la limite non visqueuse d’un modèle en couche de fluide turbulent. La preuve se base sur des estimations indépendantes de la viscosité pour des solutions stationnaires, ainsi que sur des propriétés ergodiques et de mélange pour le modèle visqueux. Le modèle en couche subit un forçage aléatoire dégénéré, c’est à dire que le bruit n’agit seulement que sur un mode. Nous montrons que le système est hypoelliptique au sens d’Hörmander et utilisons cette propriété pour prouver une borne sur le gradient du semigroupe de Markov.

We consider the Burgers equation on $H=L^{2}(0,1)$ perturbed by white noise and the corresponding transition semigroup $P_{t}$. We prove a new formula for $P_{t}D_{x}\varphi$ which depends on $\varphi$ but not on its derivative. This formula allows us to provide a bound on $D_{x}\varphi$ in $L^{2}(H,\nu)$ where $\nu$ is the invariant measure of $P_{t}$. Some new consequences for the invariant measure $\nu$ of $P_{t}$ are discussed as its Fomin differentiability and an integration by parts formula which generalises the classical one for Gaussian measures.

Nous considèrons l’équation de Burgers stochastique sur $H=L^{2}(0,1)$ dirigée par un bruit blanc, de semi-groupe de transition $P_{t}$, et démontrons une nouvelle formule qui permet d’exprimer $P_{t}D_{x}\varphi$ en terme de $\varphi$ mais pas de sa différentielle. Celle-ci nous permet d’obtenir des estimations sur $D_{x}\varphi$ dans $L^{2}(H,\nu)$, où $\nu$ est la mesure invariante de $P_{t}$, dont découlent quelques conséquences telles que l’existence de dérivées de Fomin pour $\nu$ ou encore une formule d’intégration par partie qui généralise celle bien connue pour les mesures gaussiennes.

We present a new construction of a Skorokhod embedding, namely, given a probability measure $\mu$ with zero expectation and finite variance, we construct an integrable stopping time $T$ adapted to a filtration $\mathcal{F}_{t}$, such that $W_{T}$ has the law $\mu$, where $W_{t}$ is a standard Wiener process adapted to the same filtration. We find several sufficient conditions for the stopping time $T$ to be bounded or to have a sub-exponential tail. In particular, our embedding seems rather natural for the case that $\mu$ is a log-concave measure and $T$ satisfies several tight bounds in that case. Our embedding admits the property that the stochastic measure-valued process $\{\mu_{t}\}_{t\geq0}$, where $\mu_{t}$ is as the law of $W_{T}$ conditioned on $\mathcal{F}_{t}$, is a Markov process. In view of this property, we will consider a more general family of Skorokhod embeddings which can be constructed via a kernel generating a stochastic flow on the space of measures. This family includes existing constructions such as the ones by Azéma–Yor (In Séminaire de Probabilités XIII (1979) 90–115 Springer) and by Bass (In Séminaire de Probabilités XVII (1983) 221–224 Springer), and thus suggests a new point of view on these constructions.

Nous proposons une nouvelle construction d’un plongement de Skorokhod: étant donnée une mesure de probabilité $\mu$ avec espérance nulle et variance finie, nous construisons un temps d’arrêt intégrable $T$ adapté à la filtration $\mathcal{F}_{t}$, tel que $W_{T}$ possède la loi $\mu$ et $W$ est un processus de Wiener standard adapté à la même filtration. Nous trouvons plusieurs conditions suffisantes pour que le temps d’arrêt $T$ soit borné ou ait des queues sous-exponentielles. En particulier, notre plongement semble assez naturel dans le cas où $\mu$ est log-concave et $T$ satisfait plusieurs estimations fortes. Notre plongement a la propriété suivante : le processus stochastique à valeur dans les mesures $\{\mu_{t}\}_{t\geq0}$, où $\mu_{t}$ est la loi de $W_{T}$ conditionnée par $\mathcal{F}_{t}$, est un processus de Markov. Compte tenu de cette propriété, nous allons considérer une famille plus générale de plongements de Skorokhod qui peuvent être construits à l’aide d’un noyau générant un flot stochastique sur l’espace des mesures. Cette famille inclut des constructions déjà existantes comme celle d’Azéma–Yor (In Séminaire de Probabilités XIII (1979) 90–115 Springer) et celle de Bass (In Séminaire de Probabilités XVII (1983) 221–224 Springer), suggérant ainsi un point de vue nouveau sur ces constructions.

We initiate in this paper the study of analytic properties of the Liouville heat kernel. In particular, we establish regularity estimates on the heat kernel and derive non-trivial lower and upper bounds.

Dans ce papier, nous initions l’étude des propriétés analytiques du noyau de la chaleur de Liouville. En particulier, nous établissons des estimées de régularité pour le noyau et nous l’encadrons par des bornes inférieures et supérieures non triviales.

We prove the existence of the total length process for the genealogical tree of a population model with random size given by quadratic stationary continuous-state branching processes. We also give, for the one-dimensional marginal, its Laplace transform as well as the fluctuation of the corresponding convergence. This result is to be compared with the one obtained by Pfaffelhuber and Wakolbinger for a constant size population associated to the Kingman coalescent. We also give a time reversal property of the number of ancestors process at all times, and a description of the so-called lineage tree in this model.

Nous démonstrons l’existence du processus de longueur totale renormalisée pour l’arbre généalogique dans un modèle de population dont la taille évolue suivant un processus de branchement continu quadratique (diffusion de Feller). Nous donnons également la loi unidimensionnelle de la longueur totale de l’arbre généalogique ainsi que les fluctuations associées à la renormalisation. Ce résultat est à rapprocher de ceux obtenus par Pfaffelhuber et Wakolbinger dans le cadre d’une population de taille constante associée au processus de coalescence de Kingman. Nous établissons également une propriété d’invariance par retournement du temps pour le processus du nombre des ancêtres qui permet d’obtenir en particulier une description du processus ancestral dans ce modèle.

We consider the model of i.i.d. first passage percolation on $\mathbb{Z}^{d}$: we associate with each edge $e$ of the graph a passage time $t(e)$ taking values in $[0,+\infty]$, such that $\mathbb{P}[t(e)<+\infty]>p_{c}(d)$. Equivalently, we consider a standard (finite) i.i.d. first passage percolation model on a super-critical Bernoulli percolation performed independently. We prove a weak shape theorem without any moment assumption. We also prove that the corresponding time constant is positive if and only if $\mathbb{P}[t(e)=0]<p_{c}(d)$.

Nous considérons le modèle standard de percolation de premier passage sur $\mathbb{Z}^{d}$ : nous associons à chaque arête $e$ du graphe un temps de passage $t(e)$ à valeurs dans $[0,+\infty]$, tel que $\mathbb{P}[t(e)<+\infty]>p_{c}(d)$. De façon équivalente, nous considérons un modèle de percolation de premier passage standard (fini) sur le graphe obtenu par une percolation de Bernoulli sur-critique réalisée indépendamment. Nous prouvons un théorème de forme faible sans aucune hypothèse de moment. Nous prouvons aussi que la constante de temps correspondante est strictement positive si et seulement si $\mathbb{P}[t(e)=0]<p_{c}(d)$.

We prove that the squared partition function of the two-dimensional critical Ising model defined on a finite, isoradial graph $\mathsf{G}=(\mathsf{V},\mathsf{E})$, is equal to $2^{|\mathsf{V}|}$ times the partition function of spanning trees of the graph $\bar{\mathsf{G}}$, where $\bar{\mathsf{G}}$ is the graph $\mathsf{G}$ extended along the boundary; edges of $\mathsf{G}$ are assigned Kenyon’s (Invent. Math. 150 (2) (2002) 409–439) critical weights, and boundary edges of $\bar{\mathsf{G}}$ have specific weights. The proof is an explicit construction, providing a new relation on the level of configurations between two classical, critical models of statistical mechanics.

Nous montrons que le carré de la fonction de partition du modèle d’Ising critique en dimension deux, défini sur un graphe isoradial $\mathsf{G}=(\mathsf{V},\mathsf{E})$ fini, est égale à $2^{|\mathsf{V}|}$ fois la fonction de partition des arbres couvrants du graphe $\bar{\mathsf{G}}$, où le graphe $\bar{\mathsf{G}}$ est le graphe $\mathsf{G}$ prolongé le long du bord; les arêtes de $\mathsf{G}$ sont munies des poids critiques de Kenyon (Invent. Math. 150 (2) (2002) 409–439), et les arêtes du bord de $\bar{\mathsf{G}}$ ont des poids spécifiques. La preuve consiste en une construction explicite, qui donne une nouvelle relation, au niveau des configurations, entre deux modèles classiques de mécanique statistique au point critique.

There is an essentially unique way to associate to any Riemann surface a measure on its simple loops, such that the collection of measures satisfy a strong conformal invariance property (see (J. Amer. Math. Soc. 21 (2008) 137–169)). These random loops are constructed as the boundary of Brownian loops, and so correspond in the zoo of statistical mechanics models to central charge $0$, or Schramm–Loewner Evolution (SLE) parameter $\kappa=8/3$. The goal of this paper is to construct a family of measures on simple loops on Riemann surfaces that satisfies a conformal covariance property, and that would correspond to SLE parameter $\kappa=2$ (central charge $-2$). On planar annuli, this loop measure was already built by Adrien Kassel and Rick Kenyon in (Random curves on surfaces induced from the Laplacian determinant (2012) ArXiv e-prints). We will give an alternative construction of this loop measure on planar annuli, investigate its conformal covariance, and finally extend this measure to general Riemann surfaces. This gives an example of a Malliavin–Kontsevich–Suhov loop measure (Tr. Mat. Inst. Steklova 258 (2007) 107–153) in non-zero central charge.

Il y a une manière essentiellement unique d’associer à toute surface de Riemann une mesure sur ses boucles simples de telle sorte que la collection de mesures soit invariante conforme en un sens fort (voir (J. Amer. Math. Soc. 21 (2008) 137–169)). Ces boucles aléatoires peuvent être construites comme frontières de boucles browniennes, et correpondent donc, dans la classification des modèles de mécanique statistique à la valeur de charge centrale $0$, ou alternativement au paramètre d’évolution de Schramm–Loewner (SLE) $\kappa=8/3$. Dans cet article, nous construisons une famille de mesures sur les boucles simples dans les surfaces de Riemann qui est covariante conforme, et qui correpond à la valeur $2$ du paramètre SLE (ou de maniére équivalente, à la charge centrale $-2$). Cette mesure de boucles avait été précédemment construite dans les anneaux planaires par Adrien Kassel et Rick Kenyon (Random curves on surfaces induced from the Laplacian determinant (2012) ArXiv e-prints). Nous donnerons une construction alternative de cette mesure de boucles dans les anneaux planaires et étudierons ses propriétés de covariance conforme, avant d’étendre cette mesure à toute surface de Riemann. En particulier, cela donne un exemple de mesure de Malliavin–Kontsevich–Suhov (Tr. Mat. Inst. Steklova 258 (2007) 107–153) en charge centrale non nulle.

In this paper, we examine how various notions of independence in non-commutative probability theory arise in bi-free probability. We exhibit how Boolean and monotone independence occur from bi-free pairs of faces and establish a Kac/Loeve Theorem for bi-free independence. In addition, we prove that bi-freeness is preserved under tensoring with matrices. Finally, via combinatorial arguments, we construct partial $R$-transforms in two settings relating the moments and cumulants of a left–right pair of operators.

Dans cet article, nous examinons comment diverses notions d’indépendance en théorie des probabilités non commutatives se traduisent en probabilités bi-libres. Nous montrons comment l’indépendance booléenne et monotone se produisent à partir de paires de faces bi-libres, et établissons un théorème de Kac/Loève pour l’indépendance bi-libre. En outre, nous prouvons que l’indépendance bi-libre est préservée par tensorisation avec des matrices. Enfin, par des arguments combinatoires, nous construisons deux types de $R$-transformations partielles, reliant les moments et les cumulants d’une paire gauche-droite des opérateurs.

The theorem of Furstenberg and Kesten provides a strong law of large numbers for the norm of a product of random matrices. This can be extended under various assumptions, covering nonnegative as well as invertible matrices, to a law of large numbers for the norm of a vector on which the matrices act. We prove corresponding precise large deviation results, generalizing the Bahadur–Rao theorem to this situation. Therefore, we obtain a third-order Edgeworth expansion for the cumulative distribution function of the vector norm. This result in turn relies on an application of the Nagaev–Guivarch method. Our result is then used to study matrix recursions, arising e.g. in financial time series, and to provide precise large deviation estimates there.

Le théorème de Furstenberg et Kesten établit une loi forte des grands nombres pour la norme d’un produit de matrices aléatoires. Cela peut être étendu sous des hypothèses variées, dans le cas des matrices positives ou inversibles, à une loi des grand nombres pour la norme d’un vecteur sur lequel les matrices agissent. Dans ce cadre, nous prouvons des résultats de grandes déviations précis, en généralisant le théorème de Bahadur–Rao à cette situation. Ainsi, nous obtenons une expansion de Edgeworth au troisième ordre pour la fonction de répartition de la norme du vecteur. Ce résultat se base sur une application de la méthode de Nagaev–Guivarch. Notre résultat est utilisé ensuite pour étudier des récurrences matricielles, qui apparaissent par exemple dans les séries temporelles en finance, et pour donner des estimations précises de grandes déviations.