Berry–Esseen bounds and multivariate limit theorems for functionals of Rademacher sequences

Abstract

Berry–Esseen bounds for non-linear functionals of infinite Rademacher sequences are derived by means of the Malliavin–Stein method. Moreover, multivariate extensions for vectors of Rademacher functionals are shown. The results establish a connection to small ball probabilities and shed new light onto the relation between central limit theorems on the Rademacher chaos and norms of contraction operators. Applications concern infinite weighted 2-runs, a combinatorial central limit theorem and traces of Bernoulli random matrices.

Nous dérivons des estimations de type Berry–Esseen pour des fonctionnelles non-linéaires de suites infinies de Rademacher par la méthode de Malliavin–Stein. De plus, nous prouvons des extensions multivariées pour des vecteurs de fonctionnelles de Rademacher. Ces résultats établissent une connexion avec les probabilités de petites boules et apportent un nouvel éclairage sur la relation entre des théorèmes centraux limites sur le chaos de Rademacher et les normes d’opérateurs de contraction. Des applications concernent des succès consécutifs pondérés, un théorème central limite combinatoire et des traces de matrices de Bernoulli aléatoires.