Fleming–Viot selects the minimal quasi-stationary distribution: The Galton–Watson case

Abstract

Consider $N$ particles moving independently, each one according to a subcritical continuous-time Galton–Watson process unless it hits $0$, at which time it jumps instantaneously to the position of one of the other particles chosen uniformly at random. The resulting dynamics is called Fleming–Viot process. We show that for each $N$ there exists a unique invariant measure for the Fleming–Viot process, and that its stationary empirical distribution converges, as $N$ goes to infinity, to the minimal quasi-stationary distribution of the Galton–Watson process conditioned on non-extinction.

Nous considérons $N$ particules indépendantes. Chaque particule suit l’évolution d’un processus de Galton–Watson sous-critique jusqu’au moment où elle touche $0$. À cet instant, cette particule choisit uniformément au hasard la position d’une des autres particules et y saute. Ce processus est appelé Fleming–Viot. Nous montrons que pour chaque entier $N$, il existe une unique mesure invariante pour le processus de Fleming–Viot, et que la mesure empirique stationnaire converge vers la loi quasi-stationnaire minimale d’un processus de Galton–Watson conditionné à ne pas mourir.