The Brownian web is a two-dimensional black noise

Abstract

The Brownian web is a random variable consisting of a Brownian motion starting from each space–time point on the plane. These are independent until they hit each other, at which point they coalesce. Tsirelson mentions this model in (Scaling Limit, Noise, Stability (2004) Springer), along with planar percolation, in suggesting the existence of a two-dimensional black noise. A two-dimensional noise is, roughly speaking, a random object on the plane whose distribution is translation invariant and whose behavior on disjoint subsets is independent. Black means sensitive to the resampling of sets of arbitrarily small total area.

Tsirelson implicitly asks: “Is the Brownian web a two-dimensional black noise?.” We give a positive answer to this question, providing the second known example of such after the scaling limit of critical planar percolation.

La toile brownienne est une collection de mouvements browniens issus de tout point du plan, indépendants jusqu’ à l’instant où ils se rencontrent, à la suite de quoi ils coalescent. Tsirelson mentionne ce modèle dans (Scaling Limit, Noise, Stability (2004) Springer), avec la percolation planaire, comme modèles possibles de bruit noir bidimensionnel. Un bruit bidimensionnel est, en gros, un objet aléatoire dans le plan dont la distribution est invariante par translation et dont le comportement sur des ensembles disjoints est indépendant. Noir signifie sensible au re-échantillonage d’ensembles dont l’aire totale est arbitrairement petite.

Tsirelson demande implicitement : « La toile brownienne est-elle un bruit noir bidimensionnel ? ». Nous répondons positivement à cette question, en donnant le deuxième exemple connu d’un tel bruit après la limite d’échelle de la percolation critique planaire.