Determinantal point processes in the plane from products of random matrices

Abstract

We show that the density of eigenvalues for three classes of random matrix ensembles is determinantal. First we derive the density of eigenvalues of product of $k$ independent $n\times n$ matrices with i.i.d. complex Gaussian entries with a few of matrices being inverted. In second example we calculate the same for (compatible) product of rectangular matrices with i.i.d. Gaussian entries and in last example we calculate for product of independent truncated unitary random matrices. We derive exact expressions for limiting expected empirical spectral distributions of above mentioned ensembles.

Nous montrons que la densité des valeurs propres pour trois classes d’ensembles de matrices aléatoires a une forme déterminantale. D’abord nous dérivons la densité des valeurs propres de produits de $k$ matrices $n\times n$ indépendantes avec entrées i.i.d. gaussiennes avec certaines matrices inversées. Dans le deuxième exemple, nous calculons la même densité pour des produits compatibles de matrices rectangulaires avec entrées i.i.d. gaussiennes et dans le dernier exemple pour des produits de matrices unitaires tronquées aléatoires et indépendantes. Nous dérivons des expressions exactes pour les limites des distributions spectrales de ces exemples.