We compute the generating series for the simplest class of bi-free cumulants, beyond the free cumulants, the two-bands bi-free cumulants of a pair of a left and a right variable. We also consider two-faced systems with a commutation condition implying that two-bands moments, that is expectation values of the product of a monomial of left and a monomial of right variables determine the other moments. Examples include hyponormal operators, dual systems in free entropy theory and bi-partite systems.

Pour une paire de variables, une gauche et une droite, nous calculons la série génératrice des plus simples cumulants bi-libres au-delà des cumulants libres. On considère aussi des systèmes à deux faces, satisfaisant une condition de commutation qui assure que les moments à deux bandes, c’est-à-dire les espérances des produits d’un monôme de variables gauches et d’un monôme de variables droites, déterminent tous les autres moments non-commutatifs. Les opérateurs hyponormaux, les systèmes duaux de la théorie de l’entropie libre, ainsi que les systèmes bipartites, fournissent des exemples.

We show that the density of eigenvalues for three classes of random matrix ensembles is determinantal. First we derive the density of eigenvalues of product of $k$ independent $n\times n$ matrices with i.i.d. complex Gaussian entries with a few of matrices being inverted. In second example we calculate the same for (compatible) product of rectangular matrices with i.i.d. Gaussian entries and in last example we calculate for product of independent truncated unitary random matrices. We derive exact expressions for limiting expected empirical spectral distributions of above mentioned ensembles.

Nous montrons que la densité des valeurs propres pour trois classes d’ensembles de matrices aléatoires a une forme déterminantale. D’abord nous dérivons la densité des valeurs propres de produits de $k$ matrices $n\times n$ indépendantes avec entrées i.i.d. gaussiennes avec certaines matrices inversées. Dans le deuxième exemple, nous calculons la même densité pour des produits compatibles de matrices rectangulaires avec entrées i.i.d. gaussiennes et dans le dernier exemple pour des produits de matrices unitaires tronquées aléatoires et indépendantes. Nous dérivons des expressions exactes pour les limites des distributions spectrales de ces exemples.

The probability that a one dimensional excited random walk in stationary ergodic and elliptic cookie environment is transient to the right (left) is either zero or one. This solves a problem posed by Kosygina and Zerner (Bull. Inst. Math. Acad. Sin. (N.S.) 8 (2013) 105–157). As an application, a law of large numbers holds in these conditions.

La probabilité qu’une marche aléatoire unidimensionnelle excitée dans un environnement ergodique et elliptique soit transiente à gauche (à droite) est soit nulle soit un. Ceci résout un problème posé par Kosygina et Zerner (Bull. Inst. Math. Acad. Sin. (N.S.) 8 (2013) 105–157). Comme application, une loi des grands nombres est démontrée sous ces conditions.

We study internal diffusion limited aggregation (DLA) on the two dimensional comb lattice. The comb lattice is a spanning tree of the Euclidean lattice, and internal DLA is a random growth model, where simple random walks, starting one at a time at the origin of the comb, stop when reaching the first unoccupied site. An asymptotic shape is suggested by a lower bound of Huss and Sava (Electron. J. Probab. 17 (2012) 30). We bound the fluctuations with respect to this shape.

Nous étudions un modèle d’agrégation limitée par diffusion interne (DLA), sur le peigne bidimensionnel. Le peigne est un arbre couvrant du réseau cubique, et DLA interne est un modèle de croissance aléatoire : des marches simples, lancées une après l’autre à l’origine du peigne, s’arrêtent lorsqu’elles atteignent le premier sommet inexploré. Une forme asymptotique est suggérée par une borne inférieure de Huss et Sava (Electron. J. Probab. 17 (2012) 30). Nous étudions les fluctuations par rapport à cette forme asymptotique.

The model of random interlacements is a one-parameter family $\mathcal{I}^{u}$, $u\ge0$, of random subsets of ${\mathbb{Z} }^{d}$, which locally describes the trace of simple random walk on a $d$-dimensional torus run up to time $u$ times its volume. Its complement, the so-called vacant set $\mathcal{V}^{u}$, has been shown to undergo a non-trivial percolation phase-transition in $u$; i.e., there exists $u_{*}(d)\in(0,\infty)$ such that for $u\in[0,u_{*}(d))$ the vacant set $\mathcal{V}^{u}$ contains a unique infinite connected component $\mathcal{V}_{\infty}^{u}$, while for $u>u_{*}(d)$ it consists of finite connected components. It is known (Probab. Theory Related Fields 150 (2011) 575–611, Ann. Probab. 39 (2011) 70–103) that $u_{*}(d)\sim\log d$, and in this article we show the existence of $u(d)>0$ with $\frac{u(d)}{u_{*}(d)}\to1$ as $d\to\infty$ such that $\mathcal{V}_{\infty}^{u}$ is transient for all $u\in[0,u(d))$.

Le modèle des entrelacs aléatoires est une famille $\mathcal{I}^{u}$, $u\geq0$, de sous-ensembles aléatoires de ${\mathbb{Z} }^{d}$. Cette famille décrit localement la trace d’une marche aléatoire sur le tore de dimension $d$ qui évolue jusqu’au temps $u$ fois le volume du tore. Il est connu que l’ensemble vacant $\mathcal{V}^{u}$ fait l’objet d’une transition de phase non-triviale en $u$, c’est-à-dire qu’il existe $u_{*}(d)\in(0,\infty)$ tel que pour $u\in[0,u_{*}(d))$, l’ensemble vacant $\mathcal{V}^{u}$ a une unique composante infinie connexe $\mathcal{V}^{u}_{\infty}$ tandis que pour $u>u_{*}(d)$, toutes les composantes connexes de $\mathcal{V}^{u}$ sont finies. Il est connu (Probab. Theory Related Fields 150 (2011) 575–611, Ann. Probab. 39 (2011) 70–103) que $u_{*}(d)\sim\log d$; dans cette article nous montrons l’existence de $u(d)>0$, avec $\frac{u(d)}{u_{*}(d)}\to1$ quand $d\to\infty$, tel que $\mathcal{V}_{\infty}^{u}$ est transiente pour tout $u\in[0,u(d))$.

We consider the Poisson cylinder model in $\mathbb{R}^{d}$, $d\ge3$. We show that given any two cylinders ${\mathfrak{c}}_{1}$ and ${\mathfrak{c}}_{2}$ in the process, there is a sequence of at most $d-2$ other cylinders creating a connection between ${\mathfrak{c}}_{1}$ and ${\mathfrak{c}}_{2}$. In particular, this shows that the union of the cylinders is a connected set, answering a question appearing in (Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 165–191). We also show that there are cylinders in the process that are not connected by a sequence of at most $d-3$ other cylinders. Thus, the diameter of the cluster of cylinders equals $d-2$.

Nous considérons un modèle de cylindres suivant un processus de Poisson dans $\mathbb{R}^{d}$, $d\ge3$. Nous montrons que étant donnés deux cylindres ${\mathfrak{c}}_{1}$ et ${\mathfrak{c}}_{2}$ dans le processus, il y a une séquence d’au plus $d-2$ autres cylindres qui créent une connexion entre ${\mathfrak{c}}_{1}$ et ${\mathfrak{c}}_{2}$. En particulier, ceci montre que l’union des cylindres est un ensemble connecté, et répond à une question posée par (Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 165–191). Nous montrons aussi qu’il y a des cylindres dans le processus qui ne sont pas connectés par une séquence d’au plus $d-3$ autres cylindres. Donc, le diamètre de l’amas de cylindres est égal à $d-2$.

We prove the absence of percolation in a directed Poisson-based random geometric graph with out-degree $1$. This graph is an anisotropic variant of a line-segment based lilypond model obtained from an asymmetric growth protocol, which has been proposed by Daley and Last. In order to exclude backward percolation, one may proceed as in the lilypond model of growing disks and apply the mass-transport principle. Concerning the proof of the absence of forward percolation, we present a novel argument that is based on the method of sprinkling.

Nous montrons l’absence de percolation dans un graphe géométrique aléatoire orienté de degré sortant 1 construit sur un processus ponctuel de Poisson. Ce graphe est fondé sur une variante anisotropique d’un système de segments qui croissent selon un protocole asymétrique de type ‘lilypond’ proposé par Daley et Last. Pour exclure la percolation en direction des ascendants on peut procéder comme dans le cas d’un système de disques qui croissent selon un protocole de type ‘lilypond’ en utilisant le principe du transport de masse. Concernant la preuve de l’absence de percolation en direction des descendants, nous donnons un nouvel argument à l’aide de la méthode de ‘saupoudrage’.

In (Ann. Probab. 43 (2015) 528–571), we proved that the renormalized critical Ising magnetization fields $\varPhi^{a}:=a^{15/8}\sum_{x\in a\mathbb{Z}^{2}}\sigma_{x}\delta_{x}$ converge as $a\to0$ to a random distribution that we denoted by $\varPhi^{\infty}$. The purpose of this paper is to establish some fundamental properties satisfied by this $\varPhi^{\infty}$ and the near-critical fields $\varPhi^{\infty,h}$. More precisely, we obtain the following results.

(i) If $A\subset\mathbb{C}$ is a smooth bounded domain and if $m=m_{A}:=\langle\varPhi^{\infty},1_{A}\rangle$ denotes the limiting rescaled magnetization in $A$, then there is a constant $c=c_{A}>0$ such that

\[\log\mathbb{P}[m>x]\mathop{\sim}_{x\to\infty}-cx^{16}.\] In particular, this provides an alternative way of seeing that the field $\varPhi^{\infty}$ is non-Gaussian (another proof of this fact would use the explicit $n$-point correlation functions established in (Ann. Math. 181 (2015) 1087–1138) which do not satisfy Wick’s formula).

(ii) The random variable $m=m_{A}$ has a smooth density and one has more precisely the following bound on its Fourier transform: $\vert \mathbb{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tm}]\vert \le \mathrm{e}^{-\tilde{c}\vert t\vert^{16/15}}$.

(iii) There exists a one-parameter family $\varPhi^{\infty,h}$ of near-critical scaling limits for the magnetization field in the plane with vanishingly small external magnetic field.

Dans l’article (Ann. Probab. 43 (2015) 528–571), nous avons montré que le champ de magnétisation du modèle d’Ising critique $\varPhi^{a}:=a^{15/8}\sum_{x\in a\mathbb{Z}^{2}}\sigma_{x}\delta_{x}$ converge lorsque $a\to0$ vers une distribution aléatoire limite $\varPhi^{\infty}$. Le but de cet article est d’analyser certaines propriétés fondamentales de cet objet limite $\varPhi^{\infty}$ ainsi que ses analogues presque-critiques $\varPhi^{\infty,h}$. Plus précisément, nous obtenons les résultats suivants :

(i) Si $A\subset\mathbb{C}$ est un domaine borné régulier du plan et si $m=m_{A}:=\langle\varPhi^{\infty},1_{A}\rangle$, alors il existe une constante $c=c_{A}>0$ telle que

\[\log\mathbb{P}[m>x]\mathop{\sim}_{x\to\infty}-cx^{16}.\] On obtient ainsi une preuve alternative du fait que $\varPhi^{\infty}$ est non-Gaussian (une autre façon de voir le coté non-Gaussien utilise les fonctions de corrélations à $n$-points obtenues dans (Ann. Math. 181 (2015) 1087–1138) qui ne satisfont pas la formule de Wick).

(ii) La variable aléatoire $m=m_{A}$ a une densité qui est analytique. Plus précisément, on obtient la borne suivante sur sa transformée de Fourier : $\vert \mathbb{E}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}tm}]\vert \le \mathrm{e}^{-\tilde{c}\vert t\vert^{16/15}}$.

(iii) Il existe une famille à un paramètre $\varPhi^{\infty,h}$ de limite d’échelle presque-critiques pour le champ de magnétisation dans le plan avec un champ magnétique extérieur infinitésimal.

The Brownian web is a random variable consisting of a Brownian motion starting from each space–time point on the plane. These are independent until they hit each other, at which point they coalesce. Tsirelson mentions this model in (Scaling Limit, Noise, Stability (2004) Springer), along with planar percolation, in suggesting the existence of a two-dimensional black noise. A two-dimensional noise is, roughly speaking, a random object on the plane whose distribution is translation invariant and whose behavior on disjoint subsets is independent. Black means sensitive to the resampling of sets of arbitrarily small total area.

Tsirelson implicitly asks: “Is the Brownian web a two-dimensional black noise?.” We give a positive answer to this question, providing the second known example of such after the scaling limit of critical planar percolation.

La toile brownienne est une collection de mouvements browniens issus de tout point du plan, indépendants jusqu’ à l’instant où ils se rencontrent, à la suite de quoi ils coalescent. Tsirelson mentionne ce modèle dans (Scaling Limit, Noise, Stability (2004) Springer), avec la percolation planaire, comme modèles possibles de bruit noir bidimensionnel. Un bruit bidimensionnel est, en gros, un objet aléatoire dans le plan dont la distribution est invariante par translation et dont le comportement sur des ensembles disjoints est indépendant. Noir signifie sensible au re-échantillonage d’ensembles dont l’aire totale est arbitrairement petite.

Tsirelson demande implicitement : « La toile brownienne est-elle un bruit noir bidimensionnel ? ». Nous répondons positivement à cette question, en donnant le deuxième exemple connu d’un tel bruit après la limite d’échelle de la percolation critique planaire.

Talagrand’s inequality for independent Bernoulli random variables is extended to many interacting particle systems (IPS). The main assumption is that the IPS satisfies a log-Sobolev inequality. In this context it is also shown that a slightly stronger version of Talagrand’s inequality is equivalent to a log-Sobolev inequality.

Additionally we also look at a common application, the relation between the probability of increasing events and the influences on that event by changing a single spin.

Nous étendons l’inégalité de Talagrand pour des variables aléatoires de Bernoulli à une grande classe de systèmes de particules. L’hypothèse principale est que les systèmes de particules satisfont l’inégalité de log-Sobolev. Dans ce contexte nous démontrons également qu’une version plus forte de l’inégalité de Talagrand est équivalente à l’inégalité de log-Sobolev.

Nous considérons aussi comme application la relation entre la probablité d’un évènement croissant et les “influences” sur cet évènement du changement d’un seul spin.

We analyze the optimal transport problem between two equivariant random measures and derive sufficient conditions for the existence of a unique Monge solution. Moreover, we show that equivariance naturally appears in this context by proving that classical optimal couplings on bounded sets converge to the optimal coupling on the whole space. Finally, we derive sufficient conditions for the $L^{p}$ cost to be finite by introducing a suitable metric.

Nous analysons le problème du transport optimal entre deux mesures aléatoires et équivariantes et démontrons des conditions qui garantissent l’existence d’une solution de type Monge. En outre, nous démontrons que l’équivariance apparaît naturellement dans ce contexte en prouvant que les couplages optimaux classiques dans des ensembles bornés convergent vers le couplage optimal dans tout l’espace. Finalement nous démontrons des conditions suffisantes pour que le coût au sens $L^{p}$ soit fini en introduisant une métrique appropriée.

Let $\mathbb{M}_{n}$ be the minimal position in the $n$th generation, of a real-valued branching random walk in the boundary case. As $n\to\infty$, $\mathbb{M}_{n}-{\frac{3}{2}}\log n$ is tight (see (Ann. Probab. 37 (2009) 1044–1079, Ann. Probab. 41 (2013) 1362–1426, Ann. Probab. 37 (2009) 615–653)). We establish here a law of iterated logarithm for the upper limits of $\mathbb{M}_{n}$: upon the system’s non-extinction, $\limsup_{n\to\infty}{\frac{1}{\log\log\log n}}(\mathbb{M}_{n}-{\frac{3}{2}}\log n)=1$ almost surely. We also study the problem of moderate deviations of $\mathbb{M}_{n}$: $\mathbb{P}(\mathbb{M}_{n}-{\frac{3}{2}}\log n>\lambda)$ for $\lambda\to\infty$ and $\lambda=\mathrm{o}(\log n)$. This problem is closely related to the small deviations of a class of Mandelbrot’s cascades.

Soit $\mathbb{M}_{n}$ la position minimale à la $n^{\mathrm{ieme}}$ génération, d’une marche aléatoire branchante réelle dans le cas frontière. Quand $n\to\infty$, $\mathbb{M}_{n}-{\frac{3}{2}}\log n$ est tendue (voir (Ann. Probab. 37 (2009) 1044–1079, Ann. Probab. 41 (2013) 1362–1426, Ann. Probab. 37 (2009) 615–653)). Nous établissons une loi du logarithme itéré pour décrire les limites supérieures de $\mathbb{M}_{n}$ : sur l’événement de la survie du système, $\limsup_{n\to\infty}{\frac{1}{\log\log\log n}}(\mathbb{M}_{n}-{\frac{3}{2}}\log n)=1$ presque sûrement. Nous étudions également les déviations modérées de $\mathbb{M}_{n}$ : $\mathbb{P}(\mathbb{M}_{n}-{\frac{3}{2}}\log n>\lambda)$ pour $\lambda\to\infty$ et $\lambda=\mathrm{o}(\log n)$. Ce problème est directement lié aux petites déviations d’une classe des cascades de Mandelbrot.

This paper concerns the macroscopic behavior of solutions to parabolic equations with large, highly oscillatory, random potential. When the correlation function of the random potential satisfies a specific integrability condition, we show that the random solution converges, as the correlation length of the medium tends to zero, to the deterministic solution of a homogenized equation in dimension $d\geq3$. Our derivation is based on a Feynman–Kac probabilistic representation and the Kipnis–Varadhan method applied to weak convergence of Brownian motions in random sceneries. For sufficiently mixing coefficients, we also provide an optimal rate of convergence to the homogenized limit using a quantitative martingale central limit theorem. As soon as the above integrability condition fails, the solution is expected to remain stochastic in the limit of a vanishing correlation length. For a large class of potentials given as functionals of Gaussian fields, we show the convergence of solutions to stochastic partial differential equations (SPDE) with multiplicative noise. The Feynman–Kac representation and the corresponding weak convergence of Brownian motions in random sceneries allows us to explain the transition from deterministic to stochastic limits as a function of the correlation function of the random potential.

Nous considérons le comportement macroscopique de solutions d’équations paraboliques présentant un terme potentiel aléatoire de grande intensité et oscillant rapidement. Lorsque la fonction de corrélation du potentiel aléatoire satisfait une condition précise d’intégrabilité, nous démontrons que la solution aléatoire converge vers la solution déterministe d’une équation homogénéisée quand la longueur de corrélation du milieu tend vers zéro en toute dimension $d\geq3$. Notre preuve s’appuie sur une représentation probabiliste de type Feynman–Kac et sur la methodologie introduite par Kipnis et Varadhan permettant de montrer la convergence de mouvements browniens dans des milieux aléatoires. Lorsque les coefficients aléatoires sont suffisamment mélangeants, nous présentons un taux optimal de convergence grâce à une approche quantitative du théorème de la limite centrale pour les martingales. Dès que la condition d’intégrabilité mentionée ci-dessus n’est plus satisfaite, nous pensons que la solution restera fortement stochastique pour toute longueur de corrélation du milieu. Nous montrons, pour une classe de potentiels décrits comme des fonctionnelles de champs gaussiens, que la solution converge vers celle d’une équation différentielle stochastique. La représentation de Feynman–Kac et la convergence faible de mouvements browniens nous permet d’obtenir une description précise de la transition d’une limite déterministe vers une limite stochastique en fonction des propriétés de la fonction de corrélation du potentiel aléatoire.

We study voter models defined on large finite sets. Through a perspective emphasizing the martingale property of voter density processes, we prove that in general, their convergence to the Wright–Fisher diffusion only involves certain averages of the voter models over a small number of spatial locations. This enables us to identify suitable mixing conditions on the underlying voting kernels, one of which may just depend on their eigenvalues in some contexts, to obtain the convergence of density processes. We show by examples that these conditions are satisfied by a large class of voter models on growing finite graphs.

Nous étudions le modèle du votant sur des ensembles contenant un nombre grand mais fini de sites. En nous servant des propriétés de martingales des densités du modèle du votant nous prouvons qu’ il y a convergence vers une diffusion Wright–Fisher. De plus cette preuve de convergence n’utilise que certaines moyennes sur un petit nombre de sites. Ceci nous permet d’identifier des conditions de mélange concernant le noyau du votant sous-jacent. Dans certains cas une de ces conditions nous permet de démontrer la convergence des densités en n’utilisant que les valeurs propres des noyaux. Nous donnons des exemples montrant que ces conditions de mélange sont satisfaites pour une grande classe de modèles du votant sur des ensembles croissants de graphes.

We study systems of Brownian particles on the real line which interact by splitting the local times of collisions among themselves in an asymmetric manner. We prove strong existence and uniqueness of such processes and identify them with the collections of ordered processes in a Brownian particle system, in which the drift coëfficients, the diffusion coëfficients, and the collision local times for the individual particles are assigned according to their ranks. These Brownian systems can be viewed as generalizations of those arising in first-order models for equity markets in the context of stochastic portfolio theory, and are able to correct for several shortcomings of such models while being equally amenable to computations. We also show that, in addition to being of interest in their own right, such systems of Brownian particles arise as universal scaling limits of systems of jump processes on the integer lattice with local interactions. A key step in the proof is the analysis of a generalization of Skorokhod maps which include “local times” at the intersection of faces of the nonnegative orthant. The result extends the convergence of the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) to its continuous analogue. Finally, we identify those among the Brownian particle systems which have a probabilistic structure of determinantal type.

Nous étudions des systèmes de particules browniennes sur l’axe réel qui interagissent de façon asymétrique en fonction de leurs temps locaux de collision. Nous prouvons l’existence et l’unicité au sens fort de tels processus et les identifions avec un système de particules constitué d’une famille de processus browniens ordonnés où les coefficients de dérive et de diffusion, ainsi que les temps locaux de collision entre les particules, dépendent de leurs rangs. Ces systèmes browniens peuvent être compris comme des généralisations de processus stochastiques issus des marchés boursiers et de la gestion de portefeuilles. Nous pouvons pallier certaines lacunes de ces modèles tout en conservant la possibilité d’effectuer des calculs explicites. Nous montrons aussi, qu’en plus de leur intérêt intrinsèque, de tels systèmes de particules browniennes apparaissent comme des limites universelles de processus de sauts sur un réseau avec des interactions locales. Une étape clef dans la preuve est l’analyse d’une généralisation des applications de Skorokhod qui inclut les temps locaux à l’intersection des faces de l’orthant positif. Le résultat généralise la convergence du processus d’exclusion simple totalement asymétrique (TASEP) vers sa version continue. Finalement, nous identifions parmi les systèmes de particules browniennes ceux qui possèdent une structure probabiliste déterminantale.

We continue the study initiated by Jean Bertoin in 2012 of a random dynamics on the edges of a uniform Cayley tree with $n$ vertices in which, successively, each edge is either set on fire with some fixed probability $p_{n}$ or fireproof with probability $1-p_{n}$. An edge which is set on fire burns and sets on fire its flammable neighbors, the fire then propagates in the tree, only stopped by fireproof edges. We study the distribution of the proportion of burnt and fireproof vertices and the sizes of the burnt or fireproof connected components as $n\to\infty$ regarding the asymptotic behavior of $p_{n}$.

On poursuit l’étude initiée par Jean Bertoin en 2012 d’une dynamique aléatoire sur un arbre de Cayley uniforme avec $n$ sommets dans laquelle, successivement, chaque arête est soit enflammée avec une probabilité $p_{n}$ fixée, soit ignifugée avec probabilité $1-p_{n}$. Une arête enflammée brûle et enflamme ses arêtes voisines inflammables, le feu se propage alors dans l’arbre, stoppé uniquement par les arêtes ignifugées. On étudie la loi de la proportion de sites ignifugés et brûlés ainsi que la taille des composantes connexes ignifugées et brûlées lorsque $n\to\infty$ selon le comportement asymptotic de $p_{n}$.

We determine the long-time asymptotic behavior of a relativistic diffusion taking values in the unitary tangent bundle of a Robertson–Walker space–time. We prove in particular that when approaching the explosion time of the diffusion, its projection on the base manifold almost surely converges to a random point of the causal boundary and we also describe the behavior of the tangent vector in the neighborhood of this limiting point.

Nous déterminons le comportement asymptotique en temps long d’une diffusion relativiste à valeurs dans le fibré tangent unitaire d’un espace de Robertson–Walker. On montre en particulier qu’au voisinage du temps d’explosion de la diffusion, sa projection sur la variété de base converge presque sûrement vers un point aléatoire de la frontière causale et nous décrivons le comportement du vecteur tangent au voisinage de ce point limite.

In this work we study the smoothing effect of rough differential equations driven by a fractional Brownian motion with parameter $H>1/4$. The regularization estimates we obtain generalize to the fractional Brownian motion previous results by Kusuoka and Stroock.

Dans ce travail nous étudions l’effet de régularisation pour des équations différentielles stochastiques conduites par un mouvement brownien fractionnaire de paramètre $H>1/2$. Les estimées obtenues généralisent des estimées obtenues précédemment par Kusuoka et Stroock.

In the present paper, we prove that with probability one, the Stratonovich signatures of a multidimensional diffusion process (possibly degenerate) over $[0,1]$, which is the collection of all iterated Stratonovich’s integrals of the diffusion process over $[0,1]$, determine the diffusion sample paths.

Dans ce papier, nous prouvons qu’avec probabilité égale à 1, les trajectoires d’un processus de diffusion multi-dimensionnel (éventuellement dégénéré) sur $[0,1]$ sont déterminées par ses signatures de Stratonovich, i.e. par la famille de toutes les intégrales itérées de Stratonovich du processus.

Consider a superdiffusion $X$ on $\mathbb{R}^{d}$ corresponding to the semi-linear operator $\mathcal{A}(u)=Lu+\beta u-ku^{2}$, where $L$ is a second order elliptic operator, $\beta(\cdot)$ is in the Kato class, and $k(\cdot)\ge0$ is bounded on compact subsets of $\mathbb{R}^{d}$ and is positive on a set of positive Lebesgue measure.

The main purpose of this paper is to complement the results obtained in (Ann. Probab. 32 (2004) 78–99), in the following sense. Let $\lambda_{\infty}$ be the $L^{\infty}$-growth bound of the semigroup corresponding to the Schrödinger-type operator $L+\beta$. If $\lambda_{\infty}\neq0$, then we prove that, in some sense, the exponential growth/decay rate of $\|X_{t}\|$, the total mass of $X_{t}$, is $\lambda_{\infty}$. We also describe the limiting behavior of $\exp(-\lambda_{\infty}t)\|X_{t}\|$, as $t\to\infty$. This should be compared to the result in (Ann. Probab. 32 (2004) 78–99), which says that the generalized principal eigenvalue $\lambda_{2}$ of the operator gives the rate of local growth when it is positive, and implies local extinction otherwise. It is easy to show that $\lambda_{\infty}\ge\lambda_{2}$, and we discuss cases when $\lambda_{\infty}>\lambda_{2}$ and when $\lambda_{\infty}=\lambda_{2}$.

When $\lambda_{\infty}=0$, and under some conditions on $\beta$, we give a necessary and sufficient condition for the superdiffusion $X$ to exhibit weak extinction. We show that the branching intensity $k$ affects weak extinction; this should be compared to the known result that $k$ does not affect weak local extinction. (The latter depends on the sign of $\lambda_{2}$ only, and it turns out to be equivalent to local extinction.)

Soit une superdiffusion $X$ sur $\mathbb{R}^{d}$ correspondant à l’opérateur semi-linéaire $\mathcal{A}(u)=Lu+\beta u-ku^{2}$, où $L$ est lui-même un opérateur éliptique du second ordre, $\beta(\cdot)$ est dans la classe de Kato, et $k(\cdot)\ge0$ est borné sur les compacts de $\mathbb{R}^{d}$ et est positif sur un ensemble de mesure de Lebesgue positive.

L’objectif principal de cet article est de compléter les résultats obtenus dans (Ann. Probab. 32 (2004) 78–99), dans le sens suivant. Soit $\lambda_{\infty}$ la borne $L^{\infty}$ de croissance du semigroupe correspondant à l’opérateur $L+\beta$ de type Schrödinger. Si $\lambda_{\infty}\neq0$, nous prouvons alors que – dans un certain sens – le taux exponentiel de croissance/décroissance de la masse totale $\|X_{t}\|$, est $\lambda_{\infty}$. Nous décrivons également le comportement limite de $\exp(-\lambda_{\infty}t)\|X_{t}\|$, quand $t\to\infty$, sous cette même hypothèse. Ces résultats sont à comparer avec ceux obtenus dans (Ann. Probab. 32 (2004) 78–99), où il est démontré que la valeur propre principale généralisée $\lambda_{2}$ de l’opérateur donne le taux de croissance locale quand elle est positive et qu’il y a extinction locale quand ce n’est pas le cas. Il est aisé de montrer que $\lambda_{\infty}\ge\lambda_{2}$, et nous discutons les cas $\lambda_{\infty}>\lambda_{2}$ et $\lambda_{\infty}=\lambda_{2}$.

Quand $\lambda_{\infty}=0$, et sous certaines conditions portant sur $\beta$, nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour que la superdiffusion $X$ s’éteigne faiblement. Nous montrons que l’intensité de branchement $k$ affecte l’extinction faible; alors qu’il est connu que $k$ n’affecte pas l’extinction faible locale. (Celle-ci dépendant uniquement du signe de $\lambda_{2}$ et est équivalente à l’extinction locale.)

We consider a model describing a neuron and the input it receives from its dendritic tree when this input is a random perturbation of a periodic deterministic signal, driven by an Ornstein–Uhlenbeck process. The neuron itself is modeled by a variant of the classical Hodgkin–Huxley model. Using the existence of an accessible point where the weak Hörmander condition holds and the fact that the coefficients of the system are analytic, we show that the system is non-degenerate. The existence of a Lyapunov function allows to deduce the existence of (at most a finite number of) extremal invariant measures for the process. As a consequence, the complexity of the system is drastically reduced in comparison with the deterministic system.

Nous considérons un modèle stochastique décrivant un neurone stimulé par un signal qu’il reçoit à travers son système dendritique. Ce signal aléatoire, de type Ornstein–Uhlenbeck, résulte de la perturbation d’un signal périodique déterministe. Pour décrire l’évolution du potentiel de membrane du neurone, nous faisons appel au modèle classique de Hodgkin et Huxley. Le système stochastique obtenu est fortement dégénéré. Nous démontrons que la condition de Hörmander faible est satisfaite en tout point de l’espace d’états. L’existence d’une fonction de Lyapunov permet de conclure qu’il existe au plus un nombre fini de mesures ergodiques pour ce modèle. Par conséquent, la complexité du système est réduite de manière significative par rapport à la situation déterministe.