Exponential asymptotics for time–space Hamiltonians

Abstract

In this paper, we investigate the long time asymptotics of the exponential moment for the following time–space Hamiltonian

\[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}{\frac{1}{\vert r-s\vert^{\alpha_{0}}}}\gamma (B_{r}-B_{s})\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}r,\quad t\ge0,\] where $(B_{s},s\ge0)$ is a $d$-dimensional Brownian motion, the kernel $\gamma(\cdot):\mathbb{R}^{d}\rightarrow [0,\infty)$ is a homogeneous function with singularity at zero; and $\alpha_{0}\in(0,1)$ together with the scaling parameter of $\gamma$ satisfies certain conditions. Our work is partially motivated by the studies of the short-range sample-path intersection, the strong coupling polaron, and the parabolic Anderson models with a time–space fractional white noise potential.

Dans ce papier, nous étudions le comportement en temps long du moment exponentiel du Hamiltonien dépendant du temps

\[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}{\frac{1}{\vert r-s\vert^{\alpha_{0}}}}\gamma(B_{r}-B_{s})\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}r,\quad t\ge0,\] où $(B_{s},s\ge0)$ est un mouvement brownien de dimension $d$, le noyau $\gamma(\cdot):\mathbb{R}^{d}\rightarrow [0,\infty)$ est une fonction homogène avec une singularité en zéro, $\alpha_{0}\in(0,1)$ et le paramètre de scaling $\gamma$ satisfont certaines conditions. Notre travail est partiellement motivé par l’étude des intersections ą courte portée de trajectoires, le polaron avec couplage fort et le modèle parabolique d’Anderson avec un potentiel donné par un bruit blanc fractionnaire en espace–temps.