We consider critical branching Brownian motion with absorption, in which there is initially a single particle at $x>0$, particles move according to independent one-dimensional Brownian motions with the critical drift of $-\sqrt{2}$, and particles are absorbed when they reach zero. Here we obtain asymptotic results concerning the behavior of the process before the extinction time, as the position $x$ of the initial particle tends to infinity. We estimate the number of particles in the system at a given time and the position of the right-most particle. We also obtain asymptotic results for the configuration of particles at a typical time.

Nous considérons un mouvement brownien branchant avec absorption critique, issu d’une particule en $x>0$, dans lequel les particules se déplacent selon des mouvement browniens réels indépendants avec une dérive critique de $-\sqrt{2}$, et sont absorbées en zero. Nous obtenons des résultats asymptotiques sur le comportement de ce processus avant son extinction, quand la position $x$ de la particule initiale tend vers l’infini. En particulier nous obtenons des éstimées sur le nombre de particules dans le système, la position de la particule la plus à droite, et la configuration des particules à un instant typique.

We focus on the existence and characterization of the limit for a certain critical branching random walks in time–space random environment in one dimension which was introduced by Birkner, Geiger and Kersting in (In Interacting Stochastic Systems (2005) 269–291 Springer). Each particle performs simple random walk on $\mathbb{Z}$ and branching mechanism depends on the time–space site. The limit of this measure-valued processes is characterized as the unique solution to the non-trivial martingale problem and called super-Brownian motion in a random environment by Mytnik in (Ann. Probab. 24 (1996) 1953–1978).

Nous étudions l’existence et la caractérisation de la limite de marches branchantes critiques dans un environnement spatio-temporel aléatoire en dimension 1 introduit par Birkner, Geiger and Kersting dans (In Interacting Stochastic Systems (2005) 269–291 Springer). Chaque particule effectue une marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$ et le mécanisme de branchement dépend du site indexé par l’espace et le temps. La limite de ce processus à valeur mesure est caractérisée comme l’unique solution d’un problème de martingale non-trivial et correspond au super mouvement Brownien en environnement aléatoire par Mytnik dans (Ann. Probab. 24 (1996) 1953–1978).

We consider a discrete model of population dynamics with interaction between individuals, where the birth and death rates are nonlinear functions of the population size. We obtain the large population limit of a renormalization of our model as the solution of the SDE

\[Z^{x}_{t}=x+\int_{0}^{t}f(Z^{x}_{s})\,\mathrm{d}s+2\int_{0}^{t}\int_{0}^{Z^{x}_{s}}W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u),\] where $W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u)$ is a time space white noise on $[0,\infty)^{2}$.

We give a Ray–Knight representation of this diffusion in terms of the local times of a reflected Brownian motion $H$ with a drift that depends upon the local time accumulated by $H$ at its current level, through the function $f'/2$.

Nous considérons un modèle d’évolution d’une population avec interaction entre les individus, où les taux de naissance et de mort sont fonction de la taille de la population. Nous obtenons la limite en grande population après renormalisation, qui est solution de l’EDS

\[Z^{x}_{t}=x+\int_{0}^{t}f(Z^{x}_{s})\,\mathrm{d}s+2\int_{0}^{t}\int_{0}^{Z^{x}_{s}}W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u),\] où $W(\mathrm{d}s,\mathrm{d}u)$ est un bruit blanc sur $[0,\infty)^{2}$.

Nous donnons une représentation de cette diffusion à la Ray–Knight, en fonction des temps locaux d’un mouvement brownien réfléchi $H$ avec une dérive qui dépend du temps local accumulé par $H$ à son niveau courant, à travers la fonction $f'/2$.

For each integer $k\geq2$, we introduce a sequence of $k$-ary discrete trees constructed recursively by choosing at each step an edge uniformly among the present edges and grafting on “its middle” $k-1$ new edges. When $k=2$, this corresponds to a well-known algorithm which was first introduced by Rémy. Our main result concerns the asymptotic behavior of these trees as the number of steps $n$ of the algorithm becomes large: for all $k$, the sequence of $k$-ary trees grows at speed $n^{1/k}$ towards a $k$-ary random real tree that belongs to the family of self-similar fragmentation trees. This convergence is proved with respect to the Gromov–Hausdorff–Prokhorov topology. We also study embeddings of the limiting trees when $k$ varies.

Pour chaque entier $k\geq2$, on introduit une suite d’arbres discrets $k$-aires construite récursivement en choisissant à chaque étape une arête uniformément parmi les arêtes de l’arbre pré-existant et greffant sur son « milieu » $k-1$ nouvelles arêtes. Lorsque $k=2$, cette procédure correspond à un algorithme introduit par Rémy. Pour chaque entier $k\geq2$, nous décrivons la limite d’échelle de ces arbres lorsque le nombre d’étapes $n$ tend vers l’infini : ils grandissent à la vitesse $n^{1/k}$ vers un arbre réel aléatoire $k$-aire qui appartient à la famille des arbres de fragmentation auto-similaires. Cette convergence a lieu en probabilité, pour la topologie de Gromov–Hausdorff–Prokhorov. Nous étudions également l’emboîtement des arbres limites quand $k$ varie.

In (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 34 (1998) 637–686) a tree-valued Markov chain is derived by pruning off more and more subtrees along the edges of a Galton–Watson tree. More recently, in (Ann. Probab. 40 (2012) 1167–1211), a continuous analogue of the tree-valued pruning dynamics is constructed along Lévy trees. In the present paper, we provide a new topology which allows to link the discrete and the continuous dynamics by considering them as instances of the same strong Markov process with different initial conditions. We construct this pruning process on the space of so-called bi-measure trees, which are metric measure spaces with an additional pruning measure. The pruning measure is assumed to be finite on finite trees, but not necessarily locally finite. We also characterize the pruning process analytically via its Markovian generator and show that it is continuous in the initial bi-measure tree. A series of examples is given, which include the finite variance offspring case where the pruning measure is the length measure on the underlying tree.

Dans (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 34 (1998) 637–686), les auteurs obtiennent une chaîne de Markov à valeurs arbres en élaguant de plus en plus de sous-arbres le long des nœuds d’un arbre de Galton–Watson. Plus récemment dans (Ann. Probab. 40 (2012) 1167–1211), un analogue continu de la dynamique d’élagage à valeurs arbres est construit sur des arbres de Lévy. Dans cet article, nous présentons une nouvelle topologie qui permet de relier les dynamiques discrètes et continues en les considérant comme des exemples du même processus de Markov fort avec des conditions initiales différentes. Nous construisons ce processus d’élagage sur l’espace des arbres appelés bi-mesurés, qui sont des espaces métriques mesurés avec une mesure d’élagage additionnelle. La mesure d’élagage est supposée finie sur les arbres finis, mais pas nécessairement localement finie. De plus, nous caractérisons analytiquement le processus d’élagage par son générateur infinitésimal et montrons qu’il est continu en son arbre bi-mesuré initial. Plusieurs exemples sont donnés, notamment le cas d’une loi de reproduction à variance finie où la mesure d’élagage est la mesure des longueurs sur l’arbre sous-jacent.

We study the maximum of a Gaussian field on $[0,1]^{\mathtt{d}}$ ($\mathtt{d}\geq1$) whose correlations decay logarithmically with the distance. Kahane (Ann. Sci. Math. Québec 9 (1985) 105–150) introduced this model to construct mathematically the Gaussian multiplicative chaos in the subcritical case. Duplantier, Rhodes, Sheffield and Vargas (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint, Renormalization of critical Gaussian multiplicative chaos and KPZ formula (2012) Preprint) extended Kahane’s construction to the critical case and established the KPZ formula at criticality. Moreover, they made in (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint) several conjectures on the supercritical case and on the maximum of this Gaussian field. In this paper we resolve Conjecture 12 in (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint): we establish the convergence in law of the maximum and show that the limit law is the Gumbel distribution convoluted by the limit of the derivative martingale.

Nous étudions le maximum d’un champ Gaussien sur $[0,1]^{\mathtt{d}}$ ($\mathtt{d}\geq1$) dont les corrélations décroissent logarithmiquement avec la distance. Kahane (Ann. Sci. Math. Québec 9 (1985) 105–150) a introduit ce modèle pour construire mathématiquement le chaos Gaussien multiplicatif dans le cas sous-critique. Duplantier, Rhodes, Sheffield et Vargas (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint, Renormalization of critical Gaussian multiplicative chaos and KPZ formula (2012) Preprint) ont étendu cette construction au cas critique et ont établi la formule KPZ. De plus, dans (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint), ils fournissent plusieurs conjectures sur le cas sur-critique ainsi que sur le maximum de ce champ Gaussien. Dans ce papier nous établissons la convergence en loi du maximum et montrons que loi limite est une variable aléatoire de Gumbel convoluée avec la limite de la martingale dérivée, résolvant ainsi la Conjecture 12 de (Critical Gaussian multiplicative chaos: Convergence of the derivative martingale (2012) Preprint).

We study the geometry of a random unicellular map which is uniformly distributed on the set of all unicellular maps whose genus size is proportional to the number of edges. We prove that the distance between two uniformly selected vertices of such a map is of order $\log n$ and the diameter is also of order $\log n$ with high probability. We further prove a quantitative version of the result that the map is locally planar with high probability. The main ingredient of the proofs is an exploration procedure which uses a bijection due to Chapuy, Feray and Fusy (J. Combin. Theory Ser. A 120 (2013) 2064–2092).

Nous étudions la géometrie d’une carte aléatoire unicellulaire qui est distribuée uniformement sur l’ensemble de toutes les cartes unicellulaires dont le genre est proportionnel au nombre des arrêtes. Nous prouvons que la distance entre deux sommets choisis uniformement d’une telle carte est de l’ordre $\log n$ et le diamètre est aussi de l’ordre $\log n$ avec une forte probabilité. Nous prouvons aussi une version quantitative du résultat que la carte est localement planaire avec une forte probabilité. L’ingrédient principal de la preuve est une procédure d’exploration qui utilise une bijection due au Chapuy, Féray et Fusy (J. Combin. Theory Ser. A 120 (2013) 2064–2092).

We study random two-component spanning forests ($2$SF) of finite graphs, giving formulas for the first and second moments of the sizes of the components, vertex-inclusion probabilities for one or two vertices, and the probability that an edge separates the components. We compute the limit of these quantities when the graph tends to an infinite periodic graph in $\mathbb{R}^{d}$.

Nous étudions la mesure uniforme sur les forêts couvrantes à deux composantes connexes d’un graphe fini et donnons des formules pour les deux premiers moments de la taille des composantes, les probabilités d’inclusion d’un ou deux sommets dans la même composante, et la probabilité qu’une arête sépare les composantes. Nous calculons la limite des ces quantités lorsque l’on considère une suite de graphes finis qui tend vers un graphe infini périodique dans $\mathbb{R}^{d}$.

We consider the $q$-TASEP that is a $q$-deformation of the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) on $\mathbb{Z}$ for $q\in[0,1)$ where the jump rates depend on the gap to the next particle. For step initial condition, we prove that the current fluctuation of $q$-TASEP at time $\tau$ is of order $\tau^{1/3}$ and asymptotically distributed as the GUE Tracy–Widom distribution, which confirms the KPZ scaling theory conjecture.

On considère le modèle du $q$-TASEP, qui est une modification du processus d’exclusion totalement asymétrique (TASEP) sur $\mathbb{Z}$. Le taux des sauts d’une particule dépend de la distance avec la particule à sa droite et d’un paramètre $q\in[0,1)$. Dans cet article on considère la condition initiale où $\mathbb{Z}_{-}$ est completement occupé par les particules. On montre que les fluctuations du courant au temps $\tau$ sont d’ordre $\tau^{1/3}$ et la distribution asymptotique est la distribution de Tracy–Widom GUE. Ce résultat confirme la conjecture KPZ.

The moment Lyapunov exponent is computed for the solution of the parabolic Anderson equation with an $(1+1)$-dimensional time–space white noise. Our main result positively confirms an open problem posted in (Ann. Probab. (2015) to appear) and originated from the observations made in the physical literature (J. Statist. Phys. 78 (1995) 1377–1401) and (Nuclear Physics B 290 (1987) 582–602). By a link through the Feynman–Kac’s formula, our theorem leads to the evaluation of the ground state energy for the $n$-body problem with Dirac pair interaction.

Nous calculons les moments de l’exposant de Lyapunov de la solution de l’équation d’Anderson parabolique avec un bruit blanc en espace–temps en dimension $(1+1)$. Notre résultat principal confirme un problème ouvert posé dans (Ann. Probab. (2015) à paraître) et basé sur des observations faites dans la littérature physique (J. Statist. Phys. 78 (1995) 1377–1401) et (Nuclear Physics B 290 (1987) 582–602). À travers la formule de Feynman–Kac, notre théorème permet l’évaluation de l’état fondamental pour le problème à $n$-corps avec interaction de Dirac par paires.

We study a BGK-like approximation to hyperbolic conservation laws forced by a multiplicative noise. First, we make use of the stochastic characteristics method and establish the existence of a solution for any fixed parameter $\varepsilon$. In the next step, we investigate the limit as $\varepsilon$ tends to $0$ and show the convergence to the kinetic solution of the limit problem.

Dans ce papier, nous étudions une approximation de type BGK pour des lois de conservations hyperboliques soumises à un bruit multiplicatif. Dans un premier temps, nous utilisons la méthode des caractéristiques dans le cadre stochastique et établissons l’existence d’une solution pour tout paramètre $\varepsilon$ fixé. Nous nous intéressons ensuite à la limite quand $\varepsilon$ tend vers $0$ et prouvons la convergence vers la solution cinétique du problème limite.

In this paper, we investigate the long time asymptotics of the exponential moment for the following time–space Hamiltonian

\[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}{\frac{1}{\vert r-s\vert^{\alpha_{0}}}}\gamma (B_{r}-B_{s})\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}r,\quad t\ge0,\] where $(B_{s},s\ge0)$ is a $d$-dimensional Brownian motion, the kernel $\gamma(\cdot):\mathbb{R}^{d}\rightarrow [0,\infty)$ is a homogeneous function with singularity at zero; and $\alpha_{0}\in(0,1)$ together with the scaling parameter of $\gamma$ satisfies certain conditions. Our work is partially motivated by the studies of the short-range sample-path intersection, the strong coupling polaron, and the parabolic Anderson models with a time–space fractional white noise potential.

Dans ce papier, nous étudions le comportement en temps long du moment exponentiel du Hamiltonien dépendant du temps

\[\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}{\frac{1}{\vert r-s\vert^{\alpha_{0}}}}\gamma(B_{r}-B_{s})\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}r,\quad t\ge0,\] où $(B_{s},s\ge0)$ est un mouvement brownien de dimension $d$, le noyau $\gamma(\cdot):\mathbb{R}^{d}\rightarrow [0,\infty)$ est une fonction homogène avec une singularité en zéro, $\alpha_{0}\in(0,1)$ et le paramètre de scaling $\gamma$ satisfont certaines conditions. Notre travail est partiellement motivé par l’étude des intersections ą courte portée de trajectoires, le polaron avec couplage fort et le modèle parabolique d’Anderson avec un potentiel donné par un bruit blanc fractionnaire en espace–temps.

With a view to numerical applications we address the following question: given an ergodic Brownian diffusion with a unique invariant distribution, what are the invariant distributions of the duplicated system consisting of two trajectories? We mainly focus on the interesting case where the two trajectories are driven by the same Brownian path. Under this assumption, we first show that uniqueness of the invariant distribution (weak confluence) of the duplicated system is essentially always true in the one-dimensional case. In the multidimensional case, we begin by exhibiting explicit counter-examples. Then, we provide a series of weak confluence criterions (of integral type) and also of a.s. pathwise confluence, depending on the drift and diffusion coefficients through a non-infinitesimal Lyapunov exponent. As examples, we apply our criterions to some non-trivially confluent settings such as classes of gradient systems with non-convex potentials or diffusions where the confluence is generated by the diffusive component. We finally establish that the weak confluence property is connected with an optimal transport problem.

As a main application, we apply our results to the optimization of the Richardson–Romberg extrapolation for the numerical approximation of the invariant measure of the initial ergodic Brownian diffusion.

Initialement motivés par des problèmes numériques d’analyse en temps long d’une diffusion ergodique, nous abordons ici la question suivante : si une diffusion Brownienne ergodique a une unique probabilité invariante, quelles sont les probabilités invariantes associées à sa dupliquée, i.e. au système formé par deux copies de la diffusion initiale. Nous nous focalisons notamment sur le cas où ces deux copies sont dirigées par le même mouvement Brownien ($2$-point motion). Sous cette hypothèse, nous montrons que l’unicité de la probabilité invariante relative à la diffusion dupliquée (confluence faible) est essentiellement toujours vraie en dimension $1$. En dimension supérieure, après avoir exhibé un contre-exemple, nous proposons une série de critères de confluence faible (de type intégral) mais aussi de confluence trajectorielle presque sûre, lisibles sur les coefficients de la diffusion au travers d’un exposant de Lyapounov non-infinitésimal. Ces critères permettent en particulier de traiter des cas non triviaux comme certaines classes de systèmes-gradients à potentiel (sur-quadratique) non convexe ou, à l’inverse, des systèmes pour lesquels la confluence est induite par le coefficient de diffusion. Nous montrons enfin que la propriété de confluence faible est associée à un problème de transport optimal.

Dans un second temps, nous appliquons nos résultats pour optimiser la mise en œuvre de l’extrapolation Richardson–Romberg pour l’approximation par simulation de mesures invariantes.

We establish an exact asymptotic formula for the square variation of certain partial sum processes. Let $\{X_{i}\}$ be a sequence of independent, identically distributed mean zero random variables with finite variance $\sigma^{2}$ and satisfying a moment condition $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ for some $\delta>0$. If we let $\mathcal{P}_{N}$ denote the set of all possible partitions of the interval $[N]$ into subintervals, then we have that $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$ holds almost surely. This can be viewed as a variational strengthening of the law of the iterated logarithm and refines results of J. Qian on partial sum and empirical processes. When $\delta=0$, we obtain a weaker ‘in probability’ version of the result.

Nous établissons une formule asymptotique exacte pour la variation quadratique de certains processus de sommes partielles. Soit $\{X_{i}\}$ une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulle et de variance finie $\sigma^{2}$ satisfaisant une condition de moments $\mathbb{E}[|X_{i}|^{2+\delta}]<\infty$ pour un $\delta>0$. Soit $\mathcal{P}_{N}$ l’ensemble de toutes les partitions possibles de l’intervalle $[N]$ en sous-intervalles, alors nous montrons que presque sûrement $\max_{\pi\in\mathcal{P}_{N}}\sum_{I\in\pi}|\sum_{i\in I}X_{i}|^{2}\sim2\sigma^{2}N\ln\ln(N)$. Ceci peut être interprété comme une amélioration de la loi du logarithme itéré et précise les résultats de J. Qian sur les sommes partielles et les processus empiriques. Quand $\delta=0$, nous obtenons une version plus faible, en probabilité, de ce résultat.

If a functional in a nonparametric inverse problem can be estimated with parametric rate, then the minimax rate gives no information about the ill-posedness of the problem. To have a more precise lower bound, we study semiparametric efficiency in the sense of Hájek–Le Cam for functional estimation in regular indirect models. These are characterized as models that can be locally approximated by a linear white noise model that is described by the generalized score operator. A convolution theorem for regular indirect models is proved. This applies to a large class of statistical inverse problems, which is illustrated for the prototypical white noise and deconvolution model. It is especially useful for nonlinear models. We discuss in detail a nonlinear model of deconvolution type where a Lévy process is observed at low frequency, concluding an information bound for the estimation of linear functionals of the jump measure.

Si une fonctionnelle dans un problème inverse non-paramétrique peut être estimée à vitesse paramétrique, alors la vitesse minimax ne donne aucune information sur le caractère mal posé du problème. Pour avoir une borne inférieure plus précise, nous étudions l’efficacité semi-paramétrique dans le sens de Hájek–Le Cam pour l’estimation fonctionnelle dans des modèles indirects réguliers. Ces derniers sont caractérisés comme modèles que l’on peut approcher localement par un modèle linéaire de bruit blanc décrit par l’opérateur de score généralisé. Un théorème de convolution pour des modèles indirects réguliers est prouvé. Ceci s’applique à une large classe de problèmes statistiques inverses, comme montré pour les modèles prototypes du bruit blanc et de la déconvolution. Il est spécialement utile pour des modèles non-linéaires. Nous discutons en détails un modèle non-linéaire de déconvolution où un processus de Lévy est observé à basse fréquence, en obtenant une borne d’information pour l’estimation de fonctionnelles linéaires de la mesure de sauts.