Maximal Sobolev regularity in Neumann problems for gradient systems in infinite dimensional domains

Abstract

We consider an elliptic Kolmogorov equation $\lambda u-Ku=f$ in a convex subset $\mathcal{C}$ of a separable Hilbert space $X$. The Kolmogorov operator $K$ is a realization of $u\mapsto\frac{1}{2}\operatorname{Tr} [D^{2}u(x)]+\langle Ax-DU(x),Du(x)\rangle$, $A$ is a self-adjoint operator in $X$ and $U:X\mapsto\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ is a convex function. We prove that for $\lambda>0$ and $f\in L^{2}(\mathcal{C},\nu)$ the weak solution $u$ belongs to the Sobolev space $W^{2,2}(\mathcal{C},\nu)$, where $\nu$ is the log-concave measure associated to the system. Moreover we prove maximal estimates on the gradient of $u$, that allow to show that $u$ satisfies the Neumann boundary condition in the sense of traces at the boundary of $\mathcal{C}$. The general results are applied to Kolmogorov equations of reaction–diffusion and Cahn–Hilliard stochastic PDEÕs in convex sets of suitable Hilbert spaces.

Nous considérons une équation de Kolmogorov elliptique $\lambda u-Ku=f$ dans un sous-ensemble convexe $\mathcal{C}$ d’un espace de Hilbert séparable $X$. L’opérateur de Kolmogorov $K$ est une réalisation de $u\mapsto\frac{1}{2}\operatorname{Tr} [D^{2}u(x)]+\langle Ax-DU(x),Du(x)\rangle$, où $A$ est un opérateur auto-adjoint dans $X$ et $U:X\mapsto\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ est une fonction convexe. Nous prouvons que pour $\lambda>0$ et $f\in L^{2}(\mathcal{C},\nu)$ la solution faible $u$ appartient à l’espace de Sobolev $W^{2,2}(\mathcal{C},\nu)$, où $\nu$ est la mesure log-concave associée au système. Nous prouvons aussi des estimations maximales sur le gradient de $u$ qui permettent de montrer que $u$ satisfait des conditions au bord de Neumann au sens des traces à la frontière de $\mathcal{C}$. Les résultats généraux sont appliqués aux équations de réaction–diffusion de Kolmogorov et à l’équation de Cahn–Hilliard stochastique dans des ensembles convexes d’espaces de Hilbert appropriés.