Quantitative and qualitative Kac’s chaos on the Boltzmann’s sphere

Abstract

We investigate the construction of chaotic probability measures on the Boltzmann’s sphere, which is the state space of the stochastic process of a many-particle system undergoing a dynamics preserving energy and momentum.

Firstly, based on a version of the local Central Limit Theorem (or Berry–Esseen theorem), we construct a sequence of probabilities that is Kac chaotic and we prove a quantitative rate of convergence. Then, we investigate a stronger notion of chaos, namely entropic chaos introduced in ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), and we prove, with quantitative rate, that this same sequence is also entropically chaotic.

Furthermore, we investigate more general class of probability measures on the Boltzmann’s sphere. Using the HWI inequality we prove that a Kac chaotic probability with bounded Fisher’s information is entropically chaotic and we give a quantitative rate. We also link different notions of chaos, proving that Fisher’s information chaos, introduced in (On Kac’s chaos and related problems (2012) Preprint), is stronger than entropic chaos, which is stronger than Kac’s chaos. We give a possible answer to ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), Open Problem 11, in the Boltzmann’s sphere’s framework.

Finally, applying our previous results to the recent results on propagation of chaos for the Boltzmann equation ( Invent. Math. 193 (2013) 1–147), we prove a quantitative rate for the propagation of entropic chaos for the Boltzmann equation with Maxwellian molecules.

Nous étudions la construction de mesures de probabilité chaotiques sur la sphère de Boltzmann, qui est l’espace d’état du processus stochastique d’un système de particules subissant une dynamique en préservant l’énergie et la quantité de mouvement.

Premièrement, basé sur une version du Théorème Central Limite (ou théorème de Berry–Esseen) locale, nous construisons une suite de probabilités qui est chaotique au sens de Kac et nous prouvons un taux quantitatif de convergence. Ensuite, nous étudions une notion plus forte de chaos, le chaos entropique introduit dans ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), et nous prouvons, avec un taux quantitatif, que cette même suite est également entropie chaotique.

Par ailleurs, nous nous intéressons à des classes plus générale de mesures de probabilité sur la sphère de Boltzmann. En utilisant l’inégalité HWI nous montrons qu’une probabilité chaotique au sens de Kac qui possède l’information de Fisher bornée est entropie chaotique et nous donnons un taux quantitatif. Nous relions également les différentes notions de chaos, en montrant que le Fisher chaos, introduit dans (On Kac’s chaos and related problems (2012) Preprint), est plus fort que le chaos entropique, qui est plus fort que le chaos au sens de Kac. Nous donnons une réponse possible à ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), Open Problem 11, dans le cadre de la sphère de Boltzmann.

Finalement, en appliquant nos résultats précédents aux résultats récents sur la propagation du chaos pour l’équation de Boltzmann ( Invent. Math. 193 (2013) 1–147), nous démontrons un taux quantitatif pour la propagation du chaos entropique pour l’équation de Boltzmann avec des molécules maxwelliennes.