Our main result is a local limit law for the empirical spectral distribution of the anticommutator of independent Wigner matrices, modeled on the local semicircle law. Our approach is to adapt some techniques from recent papers of Erdös–Yau–Yin. We also use an algebraic description of the law of the anticommutator of free semicircular variables due to Nica–Speicher, the linearization trick due to Haagerup–Schultz–Thorbjørnsen in a self-adjointness-preserving variant and the Schwinger–Dyson equation. A by-product of our work is a relatively simple deterministic version of the local semicircle law.

Notre principal résultat établit la loi limite locale pour la distribution spectrale empirique de l’anti-commutateur de matrices de Wigner indépendantes dans l’esprit de la loi semi-circulaire locale. Notre approche adapte les techniques d’articles récents par Erdös–Yau–Yin. Nous utilisons aussi une description algébrique de la loi de l’anti-commutateur pour des variables libres due à Nica–Speicher, une variante de l’astuce de la linéarisation de Haagerup–Schultz–Thorbjørnsen et l’équation de Schwinger–Dyson. Une conséquence de notre travail est une version déterministe assez simple de la loi semi-circulaire locale.

Let $A$ be a standard Borel space, and consider the space $A^{\mathbb{N}^{(k)}}$ of $A$-valued arrays indexed by all size-$k$ subsets of $\mathbb{N}$. This paper concerns random measures on such a space whose laws are invariant under the natural action of permutations of $\mathbb{N}$. The main result is a representation theorem for such “exchangeable” random measures, obtained using the classical representation theorems for exchangeable arrays due to de Finetti, Hoover, Aldous and Kallenberg.

After proving this representation, two applications of exchangeable random measures are given. The first is a short new proof of the Dovbysh–Sudakov Representation Theorem for exchangeable positive semi-definite matrices. The second is in the formulation of a natural class of limit objects for dilute mean-field spin glass models, retaining more information than just the limiting Gram–de Finetti matrix used in the study of the Sherrington–Kirkpatrick model.

Soit $A$ un espace de Borel standard, et soit $A^{\mathbb{N}^{(k)}}$ l’ensemble des tableaux à valeurs dans $A$ indexés par les sous-ensembles de $\mathbb{N}$ de taille $k$. On s’intéresse aux mesures aléatoires sur un tel espace dont la loi est invariante par l’action naturelle des permutations de $\mathbb{N}$. Le résultat principal est une représentation de ces mesures aléatoires « échangeables », obtenue à partir des théorèmes de représentation classiques de de Finetti, Hoover, Aldous et Kallenberg pour des tableaux échangeables.

Après avoir prouvé cette représentation, on en donne deux applications. La première est une nouvelle courte preuve du théorème de représentation de Dovbysh–Sudakov pour des matrices définies semi-positives échangeables. La seconde concerne la formulation d’une classe naturelle d’objets limites pour des modèles de champ moyen dilués pour des verres de spins qui capture plus d’information que la seule matrice limite de Gram–de Finetti qui est notamment utilisée dans l’étude du modèle de Sherrington–Kirkpatrick.

We show that in high dimensional Bernoulli bond percolation, removing from a thin infinite cluster a much thinner infinite cluster leaves an infinite component. This observation has implications for the van den Berg–Brouwer forest fire process, also known as self-destructive percolation, for dimension high enough.

Cette article montre que dans la percolation de Bernoulli par arête en grande dimension, retirer d’une composante connexe infinie de faible densité une composante connexe de densité beaucoup plus faible laisse une composante connexe infinie. Cette observation a des implications pour le processus de feux de forêt de van den Berg–Brouwer, également connu sous le nom de percolation auto-destructive, en dimension suffisamment grande.

We consider a continuous time Markov chain on a countable state space and prove a joint large deviation principle for the empirical measure and the empirical flow, which accounts for the total number of jumps between pairs of states. We give a direct proof using tilting and an indirect one by contraction from the empirical process.

On considère une chaîne de Markov en temps continu à espace d’états denombrable, et on prouve un principe de grandes déviations commun pour la mesure empirique et le courant empirique, qui représente le nombre total de sauts entre les paires d’états. On donne une preuve directe à l’aide d’un tilting, et une preuve indirecte par contraction, à partir du processus empirique.

We consider a one-dimensional continuous time random walk with transition rates depending on an underlying autonomous simple symmetric exclusion process starting out of equilibrium. This model represents an example of a random walk in a slowly non-uniform mixing dynamic random environment. Under a proper space–time rescaling in which the exclusion is speeded up compared to the random walk, we prove a hydrodynamic limit theorem for the exclusion as seen by this walk and we derive an ODE describing the macroscopic evolution of the walk. The main difficulty is the proof of a replacement lemma for the exclusion as seen from the walk without explicit knowledge of its invariant measures. We further discuss how to obtain similar results for several variants of this model.

Nous considérons une marche aléatoire unidimensionnelle à temps continu, avec des taux des sauts dépendants d’un processus d’exclusion autonome et hors équilibre. Ce modèle répresente un exemple de marche aléatoire en milieu aléatoire dynamique, où le milieu n’a pas des bonnes proprietés de mélange. Sous la bonne échelle spatio-temporelle, où le processus d’exclusion est accéléré de plus en plus par rapport à la marche, nous démonstrons un théorème de limite hydrodynamique pour le processus d’exclusion vu par la marche aléatoire, et nous dérivons une EDO qui décrit l’évolution macroscopique de la marche. La difficulté principale est la démonstration d’un lemme de remplacement pour le processus d’exclusion vu par la marche aléatoire, sans une connaissance explicite de ses mesures invariantes. Nous discutons comment obtenir des résultats similaires pour des variantes du modèle en question.

Random walks and diffusions in symmetric random environment are known to exhibit metastable behavior: they tend to stay for long times in wells of the environment. For the case that the environment is a one-dimensional two-sided standard Brownian motion, we study the process of depths of the consecutive wells of increasing depth that the motion visits. When these depths are looked in logarithmic scale, they form a stationary renewal cluster process. We give a description of the structure of this process and derive from it the almost sure limit behavior and the fluctuations of the empirical density of the process.

Il est bien connu que les marches aléatoires et les diffusions dans un environnement symétrique aléatoire ont un comportement métastable : elles tendent à rester longtemps dans les puits de l’environnement. Dans le cas où l’environnement est un mouvement brownien linéaire, nous étudions le processus des profondeurs des puits consécutifs de profondeur croissante que la dynamique visite. Quand ces profondeurs sont regardées à l’échelle logarithmique, elles forment un processus stationnaire de renouvellement. Nous donnons une description de la structure de ce processus et nous en déduisons le comportement asymptotique presque sûr et les fluctuations de sa densité empirique.

Let $\mathcal{C}^{n}$ be the largest open cluster for supercritical Bernoulli bond percolation in $[-n,n]^{d}\cap\mathbb{Z}^{d}$ with $d\ge2$. We obtain a sharp estimate for the effective resistance on $\mathcal{C}^{n}$. As an application we show that the cover time for the simple random walk on $\mathcal{C}^{n}$ is comparable to $n^{d}(\log n)^{2}$. Noting that the cover time for the simple random walk on $[-n,n]^{d}\cap\mathbb{Z}^{d}$ is of order $n^{d}\log n$ for $d\ge3$ (and of order $n^{2}(\log n)^{2}$ for $d=2$), this gives a quantitative difference between the two random walks for $d\ge3$.

On considère la percolation de Bernoulli par arêtes dans le régime surcritique. Soit $\mathcal{C}^{n}$ le plus grand amas de percolation dans $[-n,n]^{d}\cap\mathbb{Z}^{d}$ avec $d\ge2$. Nous obtenons une estimation précise de la résistance effective sur $\mathcal{C}^{n}$. Comme application, nous montrons que le temps de recouvrement d’une marche simple sur $\mathcal{C}^{n}$ est de l’ordre de $n^{d}(\log n)^{2}$. En remarquant que le temps de recouvrement d’une marche simple sur $[-n,n]^{d}\cap\mathbb{Z}^{d}$ est de l’ordre de $n^{d}\log n$ quand $d\ge3$ (et de $n^{2}(\log n)^{2}$ quand $d=2$), ceci montre une différence quantitative entre les deux marches si $d\ge3$.

We construct the natural diffusion in the random geometry of planar Liouville quantum gravity. Formally, this is the Brownian motion in a domain $D$ of the complex plane for which the Riemannian metric tensor at a point $z\in D$ is given by $\exp(\gamma h(z))$, appropriately normalised. Here $h$ is an instance of the Gaussian free field on $D$ and $\gamma\in(0,2)$ is a parameter. We show that the process is almost surely continuous and enjoys certain conformal invariance properties. We also estimate the Hausdorff dimension of times that the diffusion spends in the thick points of the Gaussian free field, and show that it spends Lebesgue-almost all its time in the set of $\gamma$-thick points, almost surely. Similar but deeper results have been independently and simultaneously proved by Garban, Rhodes and Vargas.

Nous construisons une diffusion naturelle associée ê la géométrie aléatoire de la gravité quantique de Liouville. Formellement, il s’agît d’un mouvement Brownien dans un domaine $D$ du plan complexe, muni d’un tenseur de Riemann donné par $\exp(\gamma h(z))$, correctement renomalisé. Ici $h$ est une réalisation du champ libre Gaussien sur $D$, et $\gamma\in\,]0,2[$ est un paramètre. Il est montré que ce processus est presque sûrement continu et possède certains propriétés d’invariance conforme. Une borne sur la dimension de Hausdorff des instants passés dans les points épais du champ libre Gaussien est obtenue, qui montre que cette diffusion passe Lebesue-presque tout son temps dans les points $\gamma$-épais, presque sûrement. Des résultats semblables mais plus profonds ont été indépendemment et simultanément obtenus par Garban, Rhodes et Vargas.

This paper deals with a subcritical Keller–Segel equation. Starting from the stochastic particle system associated with it, we show well-posedness results and the propagation of chaos property. More precisely, we show that the empirical measure of the system tends towards the unique solution of the limit equation as the number of particles goes to infinity.

Cet article traite de l’équation de Keller–Segel dans un cadre sous-critique. À l’aide du système de particules en lien avec cette équation, nous montrons des résultats d’existence et d’unicité, puis la propagation du chaos pour ce dernier. Plus précisément, nous montrons que la mesure empirique du système tend vers l’unique solution de l’équation limite lorsque le nombre de particules tend vers l’infini.

We investigate the construction of chaotic probability measures on the Boltzmann’s sphere, which is the state space of the stochastic process of a many-particle system undergoing a dynamics preserving energy and momentum.

Firstly, based on a version of the local Central Limit Theorem (or Berry–Esseen theorem), we construct a sequence of probabilities that is Kac chaotic and we prove a quantitative rate of convergence. Then, we investigate a stronger notion of chaos, namely entropic chaos introduced in ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), and we prove, with quantitative rate, that this same sequence is also entropically chaotic.

Furthermore, we investigate more general class of probability measures on the Boltzmann’s sphere. Using the HWI inequality we prove that a Kac chaotic probability with bounded Fisher’s information is entropically chaotic and we give a quantitative rate. We also link different notions of chaos, proving that Fisher’s information chaos, introduced in (On Kac’s chaos and related problems (2012) Preprint), is stronger than entropic chaos, which is stronger than Kac’s chaos. We give a possible answer to ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), Open Problem 11, in the Boltzmann’s sphere’s framework.

Finally, applying our previous results to the recent results on propagation of chaos for the Boltzmann equation ( Invent. Math. 193 (2013) 1–147), we prove a quantitative rate for the propagation of entropic chaos for the Boltzmann equation with Maxwellian molecules.

Nous étudions la construction de mesures de probabilité chaotiques sur la sphère de Boltzmann, qui est l’espace d’état du processus stochastique d’un système de particules subissant une dynamique en préservant l’énergie et la quantité de mouvement.

Premièrement, basé sur une version du Théorème Central Limite (ou théorème de Berry–Esseen) locale, nous construisons une suite de probabilités qui est chaotique au sens de Kac et nous prouvons un taux quantitatif de convergence. Ensuite, nous étudions une notion plus forte de chaos, le chaos entropique introduit dans ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), et nous prouvons, avec un taux quantitatif, que cette même suite est également entropie chaotique.

Par ailleurs, nous nous intéressons à des classes plus générale de mesures de probabilité sur la sphère de Boltzmann. En utilisant l’inégalité HWI nous montrons qu’une probabilité chaotique au sens de Kac qui possède l’information de Fisher bornée est entropie chaotique et nous donnons un taux quantitatif. Nous relions également les différentes notions de chaos, en montrant que le Fisher chaos, introduit dans (On Kac’s chaos and related problems (2012) Preprint), est plus fort que le chaos entropique, qui est plus fort que le chaos au sens de Kac. Nous donnons une réponse possible à ( Kinet. Relat. Models 3 (2010) 85–122), Open Problem 11, dans le cadre de la sphère de Boltzmann.

Finalement, en appliquant nos résultats précédents aux résultats récents sur la propagation du chaos pour l’équation de Boltzmann ( Invent. Math. 193 (2013) 1–147), nous démontrons un taux quantitatif pour la propagation du chaos entropique pour l’équation de Boltzmann avec des molécules maxwelliennes.

We study a class of piecewise deterministic Markov processes with state space $\mathbb{R}^{d}\times E$ where $E$ is a finite set. The continuous component evolves according to a smooth vector field that is switched at the jump times of the discrete coordinate. The jump rates may depend on the whole position of the process. Working under the general assumption that the process stays in a compact set, we detail a possible construction of the process and characterize its support, in terms of the solutions set of a differential inclusion. We establish results on the long time behaviour of the process, in relation to a certain set of accessible points, which is shown to be strongly linked to the support of invariant measures. Under Hörmander-type bracket conditions, we prove that there exists a unique invariant measure and that the processes converges to equilibrium in total variation. Finally we give examples where the bracket condition does not hold, and where there may be one or many invariant measures, depending on the jump rates between the flows.

Nous étudions une classe de processus de Markov déterministes par morceaux, sur espace d’états $\mathbb{R}^{d}\times E$ où $E$ est un ensemble fini. La composante continue du processus évolue suivant le flot d’un champ de vecteur, qui change lorsque la composante discrète saute. Les taux de saut peuvent dépendre des deux composantes. Sous l’hypothèse que le processus reste dans un ensemble compact, nous détaillons une construction possible et caractérisons son support en termes de solution d’une inclusion différentielle. Nous étudions ensuite le comportement en temps long, en faisant apparaître un certain ensemble de points accessibles, qui se trouve être fortement lié au support des mesures invariantes. Sous des conditions de type Hörmander sur les crochets de Lie entre les champs de vecteurs, nous montrons qu’il existe une unique mesure invariante vers laquelle le processus converge en variation totale. Nous donnons enfin des exemples où la condition d’unicité n’est pas vérifiée, et où le nombre de mesures invariantes dépend des taux de saut entre les flots.

For a class of ${\varLambda}$-Fleming–Viot processes with underlying Brownian motion whose associated ${\varLambda}$-coalescents come down from infinity, we prove a one-sided modulus of continuity result for their ancestry processes recovered from the lookdown construction of Donnelly and Kurtz. As applications, we first show that such a ${\varLambda}$-Fleming–Viot support process has one-sided modulus of continuity (with modulus function $C\sqrt{t\log(1/t)}$) at any fixed time. We also show that the support is compact simultaneously at all positive times, and given the initial compactness, its range is uniformly compact over any finite time interval. In addition, under a mild condition on the $\varLambda$-coalescence rates, we find a uniform upper bound on Hausdorff dimension of the support and an upper bound on Hausdorff dimension of the range.

Pour une classe de processus de ${\varLambda}$-Fleming–Viot avec dynamique brownienne sous-jacente dont les ${\varLambda}$-coalescents associés descendent de l’infini, nous obtenons une borne supérieure sur le module de continuité des processus ancestraux définis par la construction look-down de Donnelly et Kurtz. Comme applications, nous obtenons que le module de continuité du processus ${\varLambda}$-Fleming–Viot est majoré à tout temps positif $t$ par la fonction $C\sqrt{t\log(1/t)}$. Nous montrons aussi que le support est simultanément compact pour tout temps positif, et, en cas de compacité au temps initial, l’image est uniformément compacte sur tout intervalle de temps fini. En plus, sous une condition faible sur les taux de ${\varLambda}$-coalescence, nous obtenons une borne supérieure uniforme sur la dimension de Hausdorff du support et de l’image.

We consider an elliptic Kolmogorov equation $\lambda u-Ku=f$ in a convex subset $\mathcal{C}$ of a separable Hilbert space $X$. The Kolmogorov operator $K$ is a realization of $u\mapsto\frac{1}{2}\operatorname{Tr} [D^{2}u(x)]+\langle Ax-DU(x),Du(x)\rangle$, $A$ is a self-adjoint operator in $X$ and $U:X\mapsto\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ is a convex function. We prove that for $\lambda>0$ and $f\in L^{2}(\mathcal{C},\nu)$ the weak solution $u$ belongs to the Sobolev space $W^{2,2}(\mathcal{C},\nu)$, where $\nu$ is the log-concave measure associated to the system. Moreover we prove maximal estimates on the gradient of $u$, that allow to show that $u$ satisfies the Neumann boundary condition in the sense of traces at the boundary of $\mathcal{C}$. The general results are applied to Kolmogorov equations of reaction–diffusion and Cahn–Hilliard stochastic PDEÕs in convex sets of suitable Hilbert spaces.

Nous considérons une équation de Kolmogorov elliptique $\lambda u-Ku=f$ dans un sous-ensemble convexe $\mathcal{C}$ d’un espace de Hilbert séparable $X$. L’opérateur de Kolmogorov $K$ est une réalisation de $u\mapsto\frac{1}{2}\operatorname{Tr} [D^{2}u(x)]+\langle Ax-DU(x),Du(x)\rangle$, où $A$ est un opérateur auto-adjoint dans $X$ et $U:X\mapsto\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ est une fonction convexe. Nous prouvons que pour $\lambda>0$ et $f\in L^{2}(\mathcal{C},\nu)$ la solution faible $u$ appartient à l’espace de Sobolev $W^{2,2}(\mathcal{C},\nu)$, où $\nu$ est la mesure log-concave associée au système. Nous prouvons aussi des estimations maximales sur le gradient de $u$ qui permettent de montrer que $u$ satisfait des conditions au bord de Neumann au sens des traces à la frontière de $\mathcal{C}$. Les résultats généraux sont appliqués aux équations de réaction–diffusion de Kolmogorov et à l’équation de Cahn–Hilliard stochastique dans des ensembles convexes d’espaces de Hilbert appropriés.

We prove Kolmogorov’s law of the iterated logarithm for noncommutative martingales. The commutative case was due to Stout. The key ingredient is an exponential inequality proved recently by Junge and the author.

Nous prouvons la loi de Kolmogorov du logarithme itéré pour des martingales non-commutatives. Le cas commutatif a été établi par Stout. L’ingrédient clé est une inégalité exponentielle prouvée récemment par Junge et l’auteur.

Given a bounded operator $T$ on a Banach space $X$, we study the existence of a probability measure $\mu$ on $X$ such that, for many functions $f:X\to\mathbb{K}$, the sequence $(f+\cdots+f\circ T^{n-1})/\sqrt{n}$ converges in distribution to a Gaussian random variable.

Étant donné un opérateur $T$ agissant sur un espace de Banach $X$, nous étudions l’existence d’une mesure de probabilité $\mu$ sur $X$ telle que, pour de nombreuses fonctions $f:X\to\mathbb{K}$, la suite $(f+\cdots+f\circ T^{n-1})/\sqrt{n}$ converge en loi vers une variable aléatoire gaussienne.

This paper provides quantitative Central Limit Theorems for nonlinear transforms of spherical random fields, in the high-frequency limit. The sequences of fields that we consider are represented as smoothed averages of spherical Gaussian eigenfunctions and can be viewed as random coefficients from continuous wavelets/needlets; as such, they are of immediate interest for spherical data analysis. In particular, we focus on so-called needlets polyspectra, which are popular tools for non-Gaussianity analysis in the astrophysical community, and on the area of excursion sets. Our results are based on Stein–Malliavin approximations for nonlinear transforms of Gaussian fields, and on an explicit derivation on the high-frequency limit of their variances, which may have some independent interest.

Dans cet article on prouve un TCL pour des fonctionnelles nonlinéaires de champs aléatoires sur la sphère avec bornes en variation totale dans le sens de la limite en haute fréquence. Les suites de champs aléatoires que l’on considère sont des moyennes régularisées de fonctions propres gaussiennes sur la sphère qui peuvent être vues comme des coefficients aléatoires d’ondelettes/needlets continues. En particulier on se concentre sur le polyspectre en needlets lequel est un outil couramment utilisé dans l’analyse de la nongaussianité en astrophysique et dans le domaine des ensembles de niveau. Nos résultats sont basés sur des approximations de type Stein–Malliavin pour des fonctionnelles nonlinéaires de champs gaussiens ainsi que sur le calcul explicite de la limite en haute fréquence de leur variance, ce qui pourrait constituer un résultat ayant un interêt en lui même.

We consider a nonparametric regression estimator of conditional tails introduced by Goegebeur, Y., Guillou, A., Schorgen, G. (2013). Nonparametric regression estimation of conditional tails – the random covariate case. It is shown that this estimator is uniformly strongly consistent on compact sets and its rate of convergence is given.

Nous considérons l’estimateur à noyau de l’indice des valeurs extrêmes conditionnel présenté dans Goegebeur, Y., Guillou, A., Schorgen, G. (2013). Nonparametric regression estimation of conditional tails – the random covariate case. Nous montrons la consistance uniforme presque sûre de cet estimateur sur les compacts et nous calculons sa vitesse de convergence presque sûre.