An algebraic construction of quantum flows with unbounded generators

Abstract

It is shown how to construct $*$-homomorphic quantum stochastic Feller cocycles for certain unbounded generators, and so obtain dilations of strongly continuous quantum dynamical semigroups on $C^{*}$ algebras; this generalises the construction of a classical Feller process and semigroup from a given generator. Our construction is possible provided the generator satisfies an invariance property for some dense subalgebra $\mathcal{A}_{0}$ of the $C^{*}$ algebra $\mathcal{A}$ and obeys the necessary structure relations; the iterates of the generator, when applied to a generating set for $\mathcal{A}_{0}$, must satisfy a growth condition. Furthermore, it is assumed that either the subalgebra $\mathcal{A}_{0}$ is generated by isometries and $\mathcal{A}$ is universal, or $\mathcal{A}_{0}$ contains its square roots. These conditions are verified in four cases: classical random walks on discrete groups, Rebolledo’s symmetric quantum exclusion process and flows on the non-commutative torus and the universal rotation algebra.

Des cocycles de Feller stochastiques quantiques $*$-homomorphes sont construits pour certains générateurs non bornés, et ainsi nous obtenons des dilatations pour des semigroupes dynamiques quantiques fortement continus sur des $C^{*}$ algèbres. Ceci généralise la construction d’un processus de Feller classique et de son semigroupe à partir d’un générateur donné. Notre construction est possible à condition que le générateur satisfasse une propriété d’invariance pour une sous-algèbre dense $\mathcal{A}_{0}$ de la $C^{*}$ algèbre $\mathcal{A}$ et obéisse aux relations de structure nécessaires; les itérations du générateur, lorsqu’elles sont appliquées à une famille génératrice de $\mathcal{A}_{0}$, doivent satisfaire à une condition de croissance. De plus, il est supposé que soit la sous-algèbre $\mathcal{A}_{0}$ est engendrée par les isométries et $\mathcal{A}$ est universelle, ou bien $\mathcal{A}_{0}$ contient ses racines carrées. Ces conditions sont vérifiées dans quatre cas: marches aléatoires classiques sur les groupes discrets, le processus d’exclusion quantique symétrique introduit par Rebolledo et des flux sur le tore non commutatif et l’algèbre de rotation universelle.