Three examples of Brownian flows on $\mathbb{R}$

Abstract

We show that the only flow solving the stochastic differential equation (SDE) on $\mathbb{R}$

\[\mathrm{d}X_{t}=1_{\{X_{t}>0\}}W^{+}(\mathrm{d}t)+1_{\{X_{t}<0\}}\,\mathrm{d}W^{-}(\mathrm{d}t),\] where $W^{+}$ and $W^{-}$ are two independent white noises, is a coalescing flow we will denote by $\varphi^{\pm}$. The flow $\varphi^{\pm}$ is a Wiener solution of the SDE. Moreover, $K^{+}=\mathsf{E}[\delta_{\varphi^{\pm}}|W^{+}]$ is the unique solution (it is also a Wiener solution) of the SDE

\[K^{+}_{s,t}f(x)=f(x)+\int_{s}^{t}K_{s,u}(1_\mathbb{R}^{+}f')(x)W^{+}(\mathrm{d}u)+\frac{1}{2}\int_{s}^{t}K_{s,u}f"(x)\,\mathrm{d}u\] for $s<t$, $x\in\mathbb{R}$ and $f$ a twice continuously differentiable function. A third flow $\varphi^{+}$ can be constructed out of the $n$-point motions of $K^{+}$. This flow is coalescing and its $n$-point motion is given by the $n$-point motions of $K^{+}$ up to the first coalescing time, with the condition that when two points meet, they stay together. We note finally that $K^{+}=\mathsf{E}[\delta_{\varphi^{+}}|W^{+}]$.

Nous montrons que le seul flot solution de l’équation différentielle stochastique (EDS) sur $\mathbb{R}$

\[\mathrm{d}X_{t}=1_{\{X_{t}>0\}}W^{+}(\mathrm{d}t)+1_{\{X_{t}<0\}}\,\mathrm{d}W^{-}(\mathrm{d}t),\] où $W^{+}$ et $W^{-}$ sont deux bruits blancs indépendants, est un flot coalescent que nous noterons $\varphi^{\pm}$. Le flot $\varphi^{\pm}$ est une solution Wiener de l’équation. De plus, $K^{+}=\mathsf{E}[\delta_{\varphi^{\pm}}|W^{+}]$ est l’unique solution (c’est aussi une solution Wiener) de l’EDS

\[K^{+}_{s,t}f(x)=f(x)+\int_{s}^{t}K_{s,u}(1_\mathbb{R}^{+}f')(x)W^{+}(\mathrm{d}u)+\frac{1}{2}\int_{s}^{t}K_{s,u}f"(x)\,\mathrm{d}u\] pour tout $s<t$, $x\in\mathbb{R}$ et $f$ une fonction deux fois continûment mesurable. Un troisième flot $\varphi^{+}$ peut être construit à partir des mouvements à $n$ points de $K^{+}$. Ce flot est coalescent et ses mouvements à $n$ points sont donnés par les mouvements à $n$ points de $K^{+}$ jusqu’au premier temps de coalescence, avec comme condition que lorsque deux points se rencontrent, ils restent confondus. On remarquera finalement que $K^{+}=\mathsf{E}[\delta_{\varphi^{+}}|W^{+}]$.