Uniform mixing time for random walk on lamplighter graphs

Abstract

Suppose that $\mathcal{G} $ is a finite, connected graph and $X$ is a lazy random walk on $\mathcal{G} $. The lamplighter chain $X^{\diamond}$ associated with $X$ is the random walk on the wreath product $\mathcal{G} ^{\diamond}=\mathbf{Z} _{2}\wr\mathcal{G} $, the graph whose vertices consist of pairs $(\underline{f} ,x)$ where $f$ is a labeling of the vertices of $\mathcal{G} $ by elements of $\mathbf{Z} _{2}=\{0,1\}$ and $x$ is a vertex in $\mathcal{G} $. There is an edge between $(\underline{f} ,x)$ and $(\underline{g} ,y)$ in $\mathcal{G} ^{\diamond}$ if and only if $x$ is adjacent to $y$ in $\mathcal{G} $ and $f_{z}=g_{z}$ for all $z\neq x,y$. In each step, $X^{\diamond}$ moves from a configuration $(\underline{f} ,x)$ by updating $x$ to $y$ using the transition rule of $X$ and then sampling both $f_{x}$ and $f_{y}$ according to the uniform distribution on $\mathbf{Z} _{2}$; $f_{z}$ for $z\neq x,y$ remains unchanged. We give matching upper and lower bounds on the uniform mixing time of $X^{\diamond}$ provided $\mathcal{G} $ satisfies mild hypotheses. In particular, when $\mathcal{G} $ is the hypercube $\mathbf{Z} _{2}^{d}$, we show that the uniform mixing time of $X^{\diamond}$ is $\varTheta(d2^{d})$. More generally, we show that when $\mathcal{G} $ is a torus $\mathbf{Z} _{n}^{d}$ for $d\geq3$, the uniform mixing time of $X^{\diamond}$ is $\varTheta(dn^{d})$ uniformly in $n$ and $d$. A critical ingredient for our proof is a concentration estimate for the local time of the random walk in a subset of vertices.

Soit $\mathcal{G} $ un graphe connexe fini et $X$ une marche aléatoire fainéante sur $\mathcal{G} $. La chaîne de l’allumeur de réverbères $X^{\diamond}$ associée à $X$ est la marche aléatoire sur le groupe produit $\mathcal{G} ^{\diamond}=\mathbf{Z} _{2}\wr \mathcal{G} $, le graphe dont les sites sont des paires $(\underline{f} ,x)$ où $f$ est un label des sites de $\mathcal{G} $ par des éléments de $\mathbf{Z} _{2}=\{0,1\}$ et $x$ est un site de $\mathcal{G} $. Il existe une arête entre $(\underline{f} ,x)$ et $(\underline{g} ,y)$ dans $\mathcal{G} ^{\diamond}$ si et seulement si $x$ est adjacent à $y$ dans $\mathcal{G} $ et $f_{z}=g_{z}$ pour tout $z\neq x,y$. A chaque pas, $X^{\diamond}$ se déplace d’une configuration $(\underline{f} ,x)$ en mettant à jour $x$ vers $y$ par la règle de translation de $X$ et ensuite en mettant à jour à la fois $f_{x}$ et $f_{y}$ selon la distribution uniforme sur $\mathbf{Z} _{2}$; $f_{z}$ pour $z\neq x,y$ restant inchangé. Nous prouvons des bornes supérieures et inférieures équivalentes sur le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond}$ sous des hypothèses faibles sur $\mathcal{G} $. En particulier quand $\mathcal{G} $ est l’hypercube $\mathbf{Z} _{2}^{d}$, nous montrons que le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond}$ est $\varTheta(d2^{d})$. Plus généralement, nous montrons que quand $\mathcal{G} $ est le tore $\mathbf{Z} _{n}^{d}$ avec $d\geq 3$, le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond}$ est $\varTheta(dn^{d})$ uniformément en $n$ et $d$. Un ingrédient crucial de notre preuve est une estimation de concentration pour le temps local d’une marche aléatoire dans un sous ensemble de sites.